【題目】已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn),交橢圓于點(diǎn),,點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn),的周長為..
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線與直線的傾斜角互補(bǔ),且交橢圓于點(diǎn)、,,求證:直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見證明
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)橢圓的性質(zhì)及已知條件求出,即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
(Ⅱ)設(shè)出直線和直線的直線方程,分別代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用弦長公式和韋達(dá)定理得出、,根據(jù) 確定的值,聯(lián)立直線和直線的方程得到點(diǎn)P的坐標(biāo),從而確定點(diǎn)P在定直線上。
解:(Ⅰ)由已知,得,,,
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ)若直線的斜率不存在,則直線的斜率也不存在,這與直線與直線相交于點(diǎn)矛盾,所以直線的斜率存在.
令,,,,,.
將直線的方程代入橢圓方程得:,
,,
同理,.
由得,此時(shí),,
直線,
,即點(diǎn)的定直線上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響,在若干地區(qū)各投入4萬元廣告費(fèi)用,并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員失誤,橫軸的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從0開始計(jì)數(shù)的.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長方形的寬度;
(2)估計(jì)該公司投入4萬元廣告費(fèi)用之后,對應(yīng)銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值);
(3)該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:
廣告投入x(單位:萬元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷售收益y(單位:萬元) | 1 | 3 | 4 | 7 |
表中的數(shù)據(jù)顯示,x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系,請將(2)的結(jié)果填入上表的空白欄,并計(jì)算y關(guān)于x的回歸方程.
回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司需要對所生產(chǎn)的三種產(chǎn)品進(jìn)行檢測,三種產(chǎn)品數(shù)量(單位:件)如下表所示:
產(chǎn)品 | A | B | C |
數(shù)量(件) | 180 | 270 | 90 |
采用分層抽樣的方法從以上產(chǎn)品中共抽取6件.
(1)求分別抽取三種產(chǎn)品的件數(shù);
(2)將抽取的6件產(chǎn)品按種類編號,分別記為,現(xiàn)從這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件.
(。┯盟o編號列出所有可能的結(jié)果;
(ⅱ)求這兩件產(chǎn)品來自不同種類的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司計(jì)劃購買1臺機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.在購進(jìn)機(jī)器時(shí),可以一次性額外購買幾次維修服務(wù),每次維修服務(wù)費(fèi)用200元,另外實(shí)際維修一次還需向維修人員支付小費(fèi),小費(fèi)每次50元.在機(jī)器使用期間,如果維修次數(shù)超過購機(jī)時(shí)購買的維修服務(wù)次數(shù),則每維修一次需支付維修服務(wù)費(fèi)用500元,無需支付小費(fèi).現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)一次性購買幾次維修服務(wù),為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù),得下面統(tǒng)計(jì)表:
維修次數(shù) | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
頻數(shù) | 10 | 20 | 30 | 30 | 10 |
記x表示1臺機(jī)器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù),y表示1臺機(jī)器在維修上所需的費(fèi)用(單位:元),表示購機(jī)的同時(shí)購買的維修服務(wù)次數(shù).
(1)若=10,求y與x的函數(shù)解析式;
(2)若要求“維修次數(shù)不大于”的頻率不小于0.8,求n的最小值;
(3)假設(shè)這100臺機(jī)器在購機(jī)的同時(shí)每臺都購買10次維修服務(wù),或每臺都購買11次維修服務(wù),分別計(jì)算這100臺機(jī)器在維修上所需費(fèi)用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購買1臺機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購買10次還是11次維修服務(wù)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分10分)如圖,已知四棱錐的底面是菱形,對角線交于點(diǎn),,,,底面,設(shè)點(diǎn)滿足.
(1)當(dāng)時(shí),求直線與平面所成角的正弦值;
(2)若二面角的大小為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】地球海洋面積遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于陸地面積,隨著社會的發(fā)展,科技的進(jìn)步,人類發(fā)現(xiàn)海洋不僅擁有巨大的經(jīng)濟(jì)利益,還擁有著深遠(yuǎn)的政治利益.聯(lián)合國于第63屆聯(lián)合國大會上將每年的6月8日確定為“世界海洋日”.2019年6月8日,某大學(xué)的行政主管部門從該大學(xué)隨機(jī)抽取100名大學(xué)生進(jìn)行一次海洋知識測試,并按測試成績(單位:分)分組如下:第一組[65,70),第二組[70,75),第二組[75,80),第四組[80,85),第五組[85,90],得到頻率分布直方圖如下圖:
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)若從第四組、第五組的學(xué)生中按組用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生組成中國海洋實(shí)地考察小隊(duì),出發(fā)前,用簡單隨機(jī)抽樣方法從6人中抽取2人作為正、副隊(duì)長,列舉出所有的基本事件并求“抽取的2人為不同組”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),,圓C的方程為,過點(diǎn)A的直線l與圓C相切,點(diǎn)P為圓C上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求直線l的方程;
(2)求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中,正確的共有( )
① 因?yàn)橹本是無限的,所以平面內(nèi)的一條直線就可以延伸到平面外去;
② 兩個(gè)平面有時(shí)只相交于一個(gè)公共點(diǎn);
③ 分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)的兩條直線如果相交,則交點(diǎn)只可能在兩個(gè)平面的交線上;
④ 一條直線與三角形的兩邊都相交,則這條直線必在三角形所在的平面內(nèi);
A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,側(cè)面是菱形,,是棱的中點(diǎn),,在線段上,且.
(1)證明:面;
(2)若,面面,求二面角的余弦值.
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