Question

【題目】已知函數，.

（1）若函數是上的增函數求的取值范圍；

（2）若函數恰有兩個不等的極值點、，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）問題轉化為對恒成立.求導后分離參數得到，設，利用導數研究單調性，求得最小值，根據不等式恒成立的意義得到所求范圍；

（2）由，為兩個極值點不妨設，聯立極值點的條件，并結合要證不等式，消去a,將要證不等式轉化為只含有，的不等式，適當變形轉化為只含有的不等式，作換元，轉化為關于t的不等式，構造函數，利用導數研究單調性，進而證明即可.

解：（1），在上增函數等價于對恒成立.

即，設，，

		0
	－	0	+
		極小值

，故

（2）由

，由，為兩個極值點不妨設

則兩式相減得

要證明：等價于證明

即兩邊同除

等價于證明：，設

即，

設

由（1）可知：當時，恒成立，成立，

即，∴

∴在單調遞減

∴

故成立.