Question

【題目】已知圓A：x2+y2+2x-15=0和定點B（1，0），M是圓A上任意一點，線段MB的垂直平分線交MA于點N，設點N的軌跡為C．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）若直線y=k（x-1）與曲線C相交于P，Q兩點，試問：在x軸上是否存在定點R，使當k變化時，總有∠ORP=∠ORQ？若存在，求出點R的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在定點R（4，0）滿足題設.

【解析】

（Ⅰ）求出圓心A，通過|NM|＝|NB|，推出點N的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，設其標準方程，求出a，c，即可求解橢圓方程．（Ⅱ）設存在點R（t，0）滿足題設，聯(lián)立直線y＝k（x﹣1）與橢圓方程，設P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韋達定理，通過直線RP與直線RQ的斜率之和為零，即可得到t的值．

解：（Ⅰ）圓A：（x+1）2+y2=16，圓心A（-1，0），由已知得|NM|=|NB|，

又|NM|+|NB|=4，所以|NA|+|NB|=4＞|AB|=2，

所以由橢圓的定義知點N的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，

設其標準方程C：，則2a=4，2c=2，所以a2=4，b2=3，

所以曲線C：；

（Ⅱ）設存在點R（t，0）滿足題設，聯(lián)立直線y=k（x-1）與橢圓方程，

消去y，得（4k2+3）x2-8k2x+（4k2-12）=0，設P（x1，y1），Q（x2，y2），

則由韋達定理得①，②，

由題設知OR平分∠PRQ直線RP與直RQ的傾斜角互補，

即直線RP與直線RQ的斜率之和為零，即，即，即2kx1x2-（1+t）k（x1+x2）+2tk=0③，

把①、②代入③并化簡得，即（t-4）k=0④，

所以當k變化時④成立，只要t=4即可，所以存在定點R（4，0）滿足題設.