【題目】已知橢圓 (a>0,b>0)上的點P到左、右兩焦點F1 , F2的距離之和為2 ,離心率為 .
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在同時滿足①②兩個條件的直線l?
①過點M(0, );
②存在橢圓上與右焦點F2共線的兩點A、B,且A、B關于直線l對稱.
【答案】
(1)解:∵橢圓 (a>0,b>0)上的點P到左、右兩焦點F1,F(xiàn)2的距離之和為2 ,離心率為 ,
∴ ,∴a= ,c=1,b= =1,
∴橢圓的標準方程為 =1.
(2)解:①假設存在符合條件的直線l,
當直線l與y軸重合時,兩點A、B可位于長軸兩個端點,符合條件.
此時l的方程為x=0;
②當直線l與x軸平行時,不符合條件;
③當直線l既不與x軸平行,又不與y軸重合時,
由F2(1,0),可設直線AB的方程為y=k(x﹣1),A(x1,y1),B(x2,y2),
則直線l的方程為y=﹣ ,
聯(lián)立直線AB與橢圓方程 ,
化簡得:(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,
∴ , ,
y1+y2=k(x1+x2)﹣2k= ,
∴AB的中點坐標為G( , ).
結合題意知點G在直線l上,∴ =﹣ + ,
整理得:2k2﹣3k+1=0,解得k=1或k= ,
此時直線l的方程為y=﹣x+ 或y=﹣2x+ .
綜上所述,存在符合條件的直線l,方程分別為x=0,y=﹣x+ 或y=﹣2x+
【解析】(1)由橢圓定義和離心率,列出方程組,由此能求出橢圓的標準方程.(2)當直線l與y軸重合時,l的方程為x=0;當直線l與x軸行時,不符合條件; 當直線l既不與x軸平行,又不與y軸重合時,設直線AB的方程為y=k(x﹣1),直線l的方程為y=﹣ ,聯(lián)立直線AB與橢圓方程,得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,由此利用韋達定理、根的判別式能求出結果.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=loga ,g(x)=loga(x+2a)+loga(4a﹣x),其中a>0,且a≠1.
(1)求f(x)的定義域,并判斷f(x)的奇偶性;
(2)已知區(qū)間D=[2a+1,2a+ ]滿足3aD,設函數(shù)h(x)=f(x)+g(x),h(x)的定義域為D,若對任意x∈D,不等式|h(x)|≤2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】求滿足下列條件的曲線方程:
(1)經(jīng)過兩條直線2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交點,且垂直于直線6x﹣8y+3=0的直線
(2)經(jīng)過點C(﹣1,1)和D(1,3),圓心在x軸上的圓.
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【題目】已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,{bn}是等差數(shù)列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3 , a5﹣3b2=7.
(1)求{an}和{bn}的通項公式;
(2)設cn=anbn , n∈N* , 求數(shù)列{cn}的前n項和.
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【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形DCFE為正方形,四邊形ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AC= ,AB=2BC=2,且AC⊥FB.
(1)求證:平面EAC⊥平面FCB;
(2)若線段AC上存在點M,使AE∥平面FDM,求 的值.
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【題目】如圖,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側棱AA1⊥平面ABC.若AB=AC=AA1=1,BC= ,則異面直線A1C與B1C1所成的角為( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
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【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的左、右焦點為F1(﹣2,0),F(xiàn)2(2,0),點M(﹣2, ) 在橢圓C上.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)已知斜率為k的直線l過橢圓C的右焦點F2 , 與橢圓C相交于A,B兩點.
①若|AB|= ,求直線l的方程;
②設點P( ,0),證明: 為定值,并求出該定值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤ ),x=﹣ 為f(x)的零點,x= 為y=f(x)圖象的對稱軸,且f(x)在( , )單調(diào),則ω的最大值為 .
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