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【題目】已知橢圓C: (a>b>0)的左、右焦點為F1(﹣2,0),F2(2,0),點M(﹣2, ) 在橢圓C上.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)已知斜率為k的直線l過橢圓C的右焦點F2 , 與橢圓C相交于A,B兩點.
①若|AB|= ,求直線l的方程;
②設點P( ,0),證明: 為定值,并求出該定值.

【答案】
(1)解:由題意可得c=2,即a2﹣b2=4,

代入M的坐標,可得 + =1,

解得a= ,b=

即有橢圓方程為 =1;


(2)解:①設直線l的方程為y=k(x﹣2),

代入橢圓方程,可得(1+3k2)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0,

判別式△=144k4﹣4(1+3k2)(12k2﹣6)=24(1+k2)>0,

設A(x1,y1),B(x2,y2),即有x1+x2= ,x1x2=

|AB|=

= = ,

解方程可得k=±1,

即有直線l的方程為y=±(x﹣2);

=(x1 ,y1)(x2 ,y2)=(x1 )(x2 )+y1y2

=(x1 )(x2 )+k2(x1﹣2)(x2﹣2)

=(1+k2)x1x2﹣(2k2+ )(x1+x2)+(4k2+

=(1+k2 ﹣(2k2+ +(4k2+ )= +

=﹣6+ =﹣

為定值﹣


【解析】(1)由題意可得c=2,再將M的坐標代入橢圓方程,解方程可得a,b,進而得到橢圓方程;(2)①設直線l的方程為y=k(x﹣2),代入橢圓方程,運用韋達定理和弦長公式,解方程可得k,進而得到所求直線的方程;②運用向量的數量積的坐標表示和點滿足直線的方程,化簡整理,代入韋達定理,計算即可得到所求定值.

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