Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga ，g（x）=loga（x+2a）+loga（4a﹣x），其中a＞0，且a≠1．
（1）求f（x）的定義域，并判斷f（x）的奇偶性；
（2）已知區(qū)間D=[2a+1，2a+ ]滿足3aD，設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）+g（x），h（x）的定義域為D，若對任意x∈D，不等式|h（x）|≤2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，整理得（x+2a）（x﹣2a）＞0，解得x＜﹣2a，或x＞2a，

∴f（x）的定義域為（﹣∞，﹣2a）∪（2a，+∞）．

又∵ = ，

∴f（﹣x）=f（x），

∴f（x）為奇函數(shù)

（2）解：由已知3a[2a+1，2a+ ]，

∴2a+1＞3a，或2a+ ＜3a，即0＜a＜1，或a＞ ．

又∵要使g（x）有意義，就須使x+2a＞0，且4a﹣x＞0，即﹣2a＜x＜4a，

結(jié)合（1）中f（x）的定義域知函數(shù)h（x）的自變量x須滿足2a＜x＜4a．

由題知h（x）在區(qū)間[2a+1，2a+ ]上有意義，

∴ 解得a＞ ，

∴ ＜a＜1，或a＞ ．

∵h(yuǎn)（x）=f（x）+g（x）= +loga（x+2a）+loga（4a﹣x）= ，

∴|h（x）|≤2恒成立，即為| |≤2恒成立．

因為 3a[2a+1，2a+ ]，所以h（x）≠2，

即題意轉(zhuǎn)化為對任意x∈[2a+1，2a+ ]，不等式﹣2≤ 應(yīng)恒成立．

①當(dāng) 時，上式等價于a2＜﹣x2+6ax﹣8a2≤a﹣2應(yīng)恒成立．

由于左端a2＜﹣x2+6ax﹣8a2，即（x﹣3a）2＜0，顯然不成立．

②當(dāng) 時，問題轉(zhuǎn)化為a﹣2≤﹣x2+6ax﹣8a2＜a2應(yīng)恒成立．

對于右端﹣x2+6ax﹣8a2＜a2，等價于（x﹣3a）2＞0，顯然成立．

研究左端 ≤0成立的條件．

令 ，對稱軸x=3a，開口向上．

由 知 ，故h（x）在區(qū)間[2a+1，2a+ ]上是減函數(shù)，

∴h（x）max=h（2a+1），

∴要使左端成立，只需h（2a+1）＜0成立，

即需 ，

也就是需2a3﹣a2﹣1＞0，

也就是（a﹣1）（2a2+a+1）＞0，

只須a＞1，而已知 ，故當(dāng) 時，不等式a﹣2≤﹣x2+6ax﹣8a2＜a2恒成立．

綜上所述，滿足條件的a的取值范圍為（ ，+∞）

【解析】（1）由 ，解得：函數(shù)f（x）的定義域，再由函數(shù)奇偶性的定義，可判斷出f（x）為奇函數(shù)．（2）若對任意x∈D，不等式|h（x）|≤2恒成立，即為| |≤2恒成立，分類求出各種情況下滿足條件的a值，綜合可得實數(shù)a的取值范圍．