【題目】已知函數(shù)，，.

（1）當時，若對任意均有成立，求實數(shù)k的取值范圍；

（2）設直線與曲線和曲線均相切，切點分別為，，其中.

①求證：；

②當時，關于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②.

【解析】

（1）對任意均有成立，等價于，所以只要使和，對恒成立，所以構造函數(shù)求最小值大于等于零，求其最大值，即可求出k的取值范圍；

（2）①由題可知，為曲線和曲線的公切線，則兩切點處導數(shù)相等，且與連線斜率也相等，再結合，即可證明；

②恒成立等價于，在恒成立，所以構造函數(shù)求得其最大值為，而，代換后可求出a的取值范圍.

（1）當時，，

由，知：，

①令，對恒成立，

,，，

當，，成立，

當，，，，，

∴，不成立，

∴.

②設，∴，

當時，；

當時，，

∴，∴.

故：實數(shù)k的取值范圍是.

（2）由已知：，，

①由得：，

由得：，

故，

∵，∴，∴，

故：.

②，在恒成立.

設，，

∴在為減函數(shù)，

∴，，

∵，

∴，∴.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，正方形的邊長為4，點， 分別為， 的中點，將， ，分別沿， 折起，使， 兩點重合于點，連接.

（1）求證： 平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】

大學生是國家的未來，代表著國家可持續(xù)發(fā)展的實力，能夠促進國家綜合實力的提高.據(jù)統(tǒng)計，2016年至2020年我國高校畢業(yè)生人數(shù)y(單位：萬人)的數(shù)據(jù)如下表：

年份

2016

2017

2018

2019

2020

年份代號x

16

17

18

19

20

高校畢業(yè)生人數(shù)y(單位：萬人)

765

795

820

834

874

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計算y與x的相關系數(shù)r，并說明y與x的線性相關性的強弱.

(已知：，則認為y與x線性相關性很強；，則認為y與x線性相關性一般；，則認為y與x線性相關性較弱)

（2）求y關于x的線性回歸方程，并預測2022年我國高校畢業(yè)生的人數(shù)(結果取整數(shù)).

參考公式和數(shù)據(jù)：，，，，，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】[選修4―4：坐標系與參數(shù)方程]

在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為.

（1）若a=1，求C與l的交點坐標；

（2）若C上的點到l的距離的最大值為，求a.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知動圓經(jīng)過點，且動圓被軸截得的弦長為4，記圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的標準方程；

（2）過軸下方一點向曲線作切線，切點記作、，直線交曲線于點，若直線、的斜率乘積為，點在以為直徑的圓上，求點的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項和為，且．

（1）若為等差數(shù)列，且

①求該等差數(shù)列的公差；

②設數(shù)列滿足，則當為何值時，最大？請說明理由；

（2）若還同時滿足：

①為等比數(shù)列;

②；

③對任意的正整數(shù)存在自然數(shù)，使得、、依次成等差數(shù)列，試求數(shù)列的通項公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了解某校學生參加社區(qū)服務的情況，采用按性別分層抽樣的方法進行調(diào)查.已知該校共有學生960人，其中男生560人，從全校學生中抽取了容量為n的樣本，得到一周參加社區(qū)服務時間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

超過1小時

不超過1小時

男

20

8

女

12

m

（1）求m，n；

（2）能否有95%的把握認為該校學生一周參加社區(qū)服務時間是否超過1小時與性別有關？

（3）從該校學生中隨機調(diào)查60名學生，一周參加社區(qū)服務時間超過1小時的人數(shù)記為X，以樣本中學生參加社區(qū)服務時間超過1小時的頻率作為該事件發(fā)生的概率，求X的分布列和數(shù)學期望.

附：

P（K2≥k）

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

K2.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的長軸長為，且離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設橢圓的左焦點為，點是橢圓與軸負半軸的交點，經(jīng)過的直線與橢圓交于點，經(jīng)過且與平行的直線與橢圓交于點，若，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)如下變換得到：先將圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），再將所得到的圖像向右平移個單位長度.

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式，并求其圖像的對稱軸方程；

（Ⅱ）已知關于的方程在內(nèi)有兩個不同的解．

（1）求實數(shù)m的取值范圍；

（2）證明：

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