【題目】函數(shù)y=f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2)處的切線的斜率分別是kA , kB , 規(guī)定φ(A,B)= 叫曲線y=f(x)在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”,給出以下命題: 1)函數(shù)y=x3﹣x2+1圖象上兩點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為1,2,則φ(A,B)> ;
2)存在這樣的函數(shù),圖象上任意兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù);
3)設(shè)點(diǎn)A、B是拋物線,y=x2+1上不同的兩點(diǎn),則φ(A,B)≤2;
4)設(shè)曲線y=ex上不同兩點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2),且x1﹣x2=1,若tφ(A,B)<1恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(﹣∞,1);
以上正確命題的序號(hào)為(寫出所有正確的)

【答案】(2)(3)
【解析】解:對(duì)于(1),由y=x3﹣x2+1,得y′=3x2﹣2x, 則 ,
y1=1,y2=5,則 ,
φ(A,B)= ,(1)錯(cuò)誤;
對(duì)于(2),常數(shù)函數(shù)y=1滿足圖象上任意兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù),(2)正確;
對(duì)于(3),設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),y′=2x,
則kA﹣kB=2x1﹣2x2 , =
=
∴φ(A,B)= = ,(3)正確;
對(duì)于(4),由y=ex , 得y′=ex , φ(A,B)= =
tφ(A,B)<1恒成立,即 恒成立,t=1時(shí)該式成立,∴(4)錯(cuò)誤.
故答案為:(2)(3).
由新定義,利用導(dǎo)數(shù)逐一求出函數(shù)y=x3﹣x2+1、y=x2+1在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”判斷(1)、(3);舉例說明(2)正確;求出曲線y=ex上不同兩點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2)之間的“彎曲度”,然后結(jié)合tφ(A,B)<1得不等式,舉反例說明(4)錯(cuò)誤.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知二次函數(shù)滿足f(x)=ax2+bx+c(a≠0),滿足f(x+1)﹣f(x)=2x,且f(0)=1,
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【題目】已知函數(shù)單調(diào)遞增,其中

(1)求的值;

(2)若,當(dāng)時(shí),試比較的大小關(guān)系(其中的導(dǎo)函數(shù)),請(qǐng)寫出詳細(xì)的推理過程;

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(1)求證:B1C∥平面A1BD;
(2)求二面角A1﹣BD﹣A的大。
(3)求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值.

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【題目】已知
(1)設(shè) ,求t的最大值與最小值
(2)求f(x)的值域.

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【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,兩坐標(biāo)系中取相同的單位長度,已知曲線的方程為,點(diǎn).

(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和點(diǎn)的直角坐標(biāo);

(2)設(shè)為曲線上一動(dòng)點(diǎn),以為對(duì)角線的矩形的一邊平行于極軸,求矩形周長的最小值及此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo).

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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+alnx. (Ⅰ)當(dāng)a=﹣2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
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