【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+alnx. (Ⅰ)當a=﹣2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)若g(x)=f(x)+ 在[1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)∵函數(shù)f(x)=x2+alnx,∴函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞). 當a=﹣2時, =
當x變化時,f′(x)和f(x)的值的變化情況如下表:

x

(0,1)

1

(1,+∞)

f′(x)

0

+

f(x)

遞減

極小值

遞增

由上表可知,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)、單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞)、極小值是f(1)=1.
(Ⅱ) 由g(x)=x2+alnx+ ,得
若函數(shù)g(x)為[1,+∞)上的單調(diào)增函數(shù),則g′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,
即不等式2x﹣ + ≥0在[1,+∞)上恒成立.
也即a≥ 在[1,+∞)上恒成立.
令φ(x)= ,則φ′(x)=﹣
當x∈[1,+∞)時,φ′(x)=﹣ ﹣4x<0,
∴φ(x)= 在[1,+∞)上為減函數(shù),∴φ(x)max=φ(1)=0.
∴a≥0.
∴a的取值范圍為[0,+∞)
【解析】(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞).當a=﹣2時, = ,由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.(Ⅱ) 由g(x)=x2+alnx+ ,得 ,令φ(x)= ,則φ′(x)=﹣ .由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍.
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)的相關知識點,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側,右側,那么是極大值(2)如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題.

練習冊系列答案
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2)存在這樣的函數(shù),圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數(shù);
3)設點A、B是拋物線,y=x2+1上不同的兩點,則φ(A,B)≤2;
4)設曲線y=ex上不同兩點A(x1 , y1),B(x2 , y2),且x1﹣x2=1,若tφ(A,B)<1恒成立,則實數(shù)t的取值范圍是(﹣∞,1);
以上正確命題的序號為(寫出所有正確的)

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B.5
C.﹣5
D.﹣9

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(1)求的值;

(2)求的單調(diào)區(qū)間;

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(3)函數(shù)f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在區(qū)間(﹣∞,4]上是減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是a≤﹣3;
(4)y=log (x2+x﹣2)的減區(qū)間為(1,+∞).
其中正確的個數(shù)是( )
A.0
B.1
C.2
D.3

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A.
B.
C.
D.

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