【題目】已知二次函數(shù)滿足f(x)=ax2+bx+c(a≠0),滿足f(x+1)﹣f(x)=2x,且f(0)=1,
(1)函數(shù)f(x)的解析式:
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣1,1]上的最大值和最小值:
(3)若當x∈R時,不等式f(x)>3x﹣a恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:由題意:f(x)為二次函數(shù),設f(x)=ax2+bx+c,

∵f(0)=1,

∴c=1.

則f(x)=ax2+bx+1

又∵f(x+1)﹣f(x)=2x,

∴a(x+1)2+b(x+1)+1﹣ax2﹣bx﹣1=2ax+a+b,即2ax+a+b=2x,

,解得:a=1,b=﹣1.

所以函數(shù)f(x)的解析式:f(x)=x2﹣x+1


(2)解:由(1)知 ,

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知:開口向上,對稱軸x= ,

∴當 時,f(x)有最小值 ,

當x=﹣1時,f(x)有最大值3


(3)解:對于任意x,不等式f(x)>3x﹣a恒成立,即x2﹣x+1>3x﹣a,

將可化為:a>3x﹣x2+x﹣1,即a>﹣x2+4x﹣1恒成立,

設g(x)=﹣x2+4x﹣1,x∈R,可知g(x)的最大值為3,

所以:a>3

對于任意x,不等式f(x)>3x﹣a恒成立,即x2﹣x+1>3x﹣a,

將可化為:a>3x﹣x2+x﹣1,即a>﹣x2+4x﹣1恒成立,

設g(x)=﹣x2+4x﹣1,x∈R,可知g(x)的最大值為3,

所以:a>3


【解析】(1)設函數(shù)f(x)的解析式,利用待定系數(shù)法求解.(2)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解在區(qū)間[﹣1,1]上的最大值和最小值:(3)分離參數(shù)法,將不等式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題求解.
【考點精析】利用函數(shù)的最值及其幾何意義對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值;利用圖象求函數(shù)的最大(。┲;利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲担

練習冊系列答案
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②方程g[f(x)]=0有且僅有3個根;
③方程f[f(x)]=0有且僅有5個根;
④方程g[g(x)]=0有且僅有4個根.
其中正確的命題的個數(shù)為(
A.1
B.2
C.3
D.4

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A.[0,+∞)
B.[0,1]
C.[1,2]
D.

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以上正確命題的序號為(寫出所有正確的)

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