Question

（本小題滿分12分）
如圖：在三棱錐D-ABC中，已知是正三角形，AB平面BCD，，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在棱AC上，且

（1）求三棱錐D－ABC的表面積；
（2）求證AC⊥平面DEF；
（3）若M為BD的中點(diǎn)，問AC上是否存在一點(diǎn)N，使MN∥平面DEF？若存在，說明點(diǎn)N的位置；若不存在，試說明理由．

Answer 1

（1）（2）先證EF⊥AC，再證DE⊥AC，即可證AC⊥平面DEF
（3）存在這樣的點(diǎn)N，當(dāng)CN＝時，MN∥平面DEF．

試題分析：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．
∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝．
設(shè)G為CD的中點(diǎn)，則CG＝，AG＝．
∴，，．
三棱錐D－ABC的表面積為．
（2）取AC的中點(diǎn)H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC．
∵AF＝3FC，∴F為CH的中點(diǎn)．
∵E為BC的中點(diǎn)，∴EF∥BH．則EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．
∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF．
（3）存在這樣的點(diǎn)N，當(dāng)CN＝時，MN∥平面DEF．
連CM，設(shè)CM∩DE＝O，連OF．由條件知，O為△BCD的重心，CO＝CM．
∴當(dāng)CF＝CN時，MN∥OF．∴CN＝
點(diǎn)評：題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，證明線面垂直，線面平行，考查邏輯思維能力，是中檔題．