如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,∠CAA1=60°,AA1=2AC,BC⊥平面AA1C1C.
(1)證明:A1C⊥AB;
(2)設(shè)BC=AC=2,求三棱錐C-A1BC1的體積.
(1)證明:在△ACA1中,
由余弦定理得A1C2=AC2+AA12-2AC•AA1cos60°=3AC2,
A1C=
3
AC

AC2+A1C2=A1A2,∴∠ACA1=90°,∴A1C⊥AC.
∵BC⊥平面AA1C1C,∴BC⊥A1C.
∵AC∩BC=C,∴A1C⊥平面ABC,∴A1C⊥AB.
(2)作A1E⊥CC1,CF⊥AA1
則A1E⊥平面BCC1B1,四邊形A1ECF為矩形.
在Rt△ACF中,CF=ACsin60°=
3

S△BCC1=
1
2
×4×2
=4,
V三棱錐C-A1C1B=V三棱錐A1-BCC1=
1
3
×4×
3
=
4
3
3
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知在側(cè)棱垂直于底面三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,AB=5,cos∠CAB=
3
5
,AA1=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).
(1)求證:AC⊥BC1
(2)求證:AC1平面CDB1
(3)求三棱錐A1-B1CD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,點(diǎn)P為DD1的中點(diǎn).
(1)求證:直線BD1平面PAC;
(2)求證:平面PAC⊥平面BDD1;
(3)求證:直線PB1⊥平面PAC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知四邊形ABCD中,∠B=∠D=90°,AD=CD=
6
,∠BAC=60°,E為AC的中點(diǎn);現(xiàn)將△ACD沿對角線AC折起,使點(diǎn)D在平面ABC上的射影H落在BC上.
(1)求證:AB⊥平面BCD;
(2)求三棱錐D-ABE的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,P為△ABC所在平面外一點(diǎn),PA⊥平面ABC,則四面體P-ABC中共有( 。﹤(gè)直角三角形.
A.4B.3C.2D.1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知四棱錐P-ABCD底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分別是BC、PC的中點(diǎn).
(1)證明:AE⊥PD;
(2)設(shè)AB=2,若H為線段PD上的動(dòng)點(diǎn),EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
,求此時(shí)異面直線AE和CH所成的角.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,四棱錐P-ABCD的底面是AB=2,BC=3的矩形,側(cè)面PAB是等邊三角形,且側(cè)面PAB⊥底面ABCD.
(Ⅰ)求證:面PAD⊥面PAB.
(Ⅱ)求二面角P-CD-A的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,ABCD,AD⊥DC,PD=AD=DC=2AB,則異面直線PA與BC所成角的余弦值為(  )
A.
15
5
B.
10
5
C.-
10
5
D.
10
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2.
(1)求證:AC⊥平面BB1C1C;
(2)在A1B1上是否存一點(diǎn)P,使得DP與平面BCB1與平面ACB1都平行?證明你的結(jié)論.

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同步練習(xí)冊答案