如圖,四棱錐P-ABCD的底面是AB=2,BC=3的矩形,側(cè)面PAB是等邊三角形,且側(cè)面PAB⊥底面ABCD.
(Ⅰ)求證:面PAD⊥面PAB.
(Ⅱ)求二面角P-CD-A的大。
(1)證明:∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD,
且側(cè)面PAB與底面ABCD的交線是AB,
∴在矩形ABCD中,BC⊥側(cè)面PAB,
在矩形ABCD中,ADBC,BC⊥側(cè)面PAB,
∴AD⊥側(cè)面PAB,
又AD?平面PAD,∴側(cè)面PAD⊥側(cè)面PAB.
(2)取AB中點O,取CD中點E,以O(shè)B為x軸,以O(shè)E為y軸,以O(shè)P為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
∵四棱錐P-ABCD的底面是AB=2,BC=3的矩形,側(cè)面PAB是等邊三角形,
∴P(0,0,
3
),C(1,3,0),D(-1,3,0),
PC
=(1,3,-
3
),
PD
=(-1,3,-
3
),
設(shè)平面PCD的法向量
m
=(x,y,z),則
m
PC
=0
m
PD
=0
,
x+3y-
3
z=0
-x+3y-
3
z=0
,解得
m
=(0,
3
,3),
∵平面CDA的法向量
n
=(0,0,1),
∴二面角P-CD-A的平面角的余弦值為|cos<
m
,
n
>|=|
3
12
|=
3
2

∴二面角P-CD-A的平面角為
π
3
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別為DD1、DB的中點.
(1)求證:EF平面ABC1D1
(2)求證:EF⊥B1C;
(3)求三棱錐VB1-EFC的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知矩形ABCD中AB=3,BC=a,若PA⊥平面AC,在BC邊上取點E,使PE⊥DE,則滿足條件的E點有兩個時,a的取值范圍是______.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,∠CAA1=60°,AA1=2AC,BC⊥平面AA1C1C.
(1)證明:A1C⊥AB;
(2)設(shè)BC=AC=2,求三棱錐C-A1BC1的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(理)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PA⊥面ABCD,PA=2
19
,AB=8,BC=6,點E是PC的中點,F(xiàn)在AD上且AF:FD=1:2.建立適當(dāng)坐標(biāo)系.
(1)求EF的長;
(2)證明:EF⊥PC.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,BC=BB1,D為AB的中點.
(1)求證:BC1⊥平面AB1C;
(2)求證:BC1平面A1CD.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F(xiàn),G分別是PC,PD,BC的中點.
(1)求證:平面PAB平面EFG;
(2)在線段PB上確定一點Q,使PC⊥平面ADQ,并給出證明;
(3)證明平面EFG⊥平面PAD,并求點D到平面EFG的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,點P為平行四邊形ABCD外一點,且PD⊥平面ABCD,M為PC中點.
(1)求證:AP平面MBD;
(2)若AD⊥PB,求證:BD⊥平面PAD.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直底面,AC⊥BC,D是棱AA1的中點,AA1=2AC=2BC=2a(a>0).
(1)證明:C1D⊥平面BDC;
(2)求三棱錐C-BC1D的體積.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案