如圖，已知在側(cè)棱垂直于底面三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，AB=5，cos∠CAB=
3
5
，AA1=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥BC1
（2）求證：AC1∥平面CDB1
（3）求三棱錐A1-B1CD的體積．
（1）證明：在△ABC中，由余弦定理得BC=4，∴△ABC為直角三角形，∴AC⊥BC．
又∵CC1⊥面ABC，∴CC1⊥AC，CC1∩BC=C，∴AC⊥面BCC1∴AC⊥BC1．
（2）證明：設(shè)B1C交BC1于點(diǎn)E，則E為BC1的中點(diǎn)，連接DE，則DE為△ABC1的中位線，
則在△ABC1中，DE∥AC1，又DE?面CDB1，則AC1∥面B1CD．
（3）在△ABC中過C作CF⊥AB垂足為F，
由面ABB1A1⊥面ABC知，CF⊥面ABB1A1，∴VA1-B1CD=VC-A1DB1．
而S△DA1B1=
1
2
A1B1•AA1=5×4×
1
2
=10，
CF=
AC•BC
AB
=
3×4
5
=
12
5
，
∴
VA1-B1CD=
1
3
×10×
12
5
=8
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=BB1，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．
（I）求證：A1C1∥平面AB1C；
（Ⅱ）求證：△AB1D為直角三角形；
（Ⅲ）若三棱錐B1-ACD的體積為
3
3
，求棱BB1的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

在正四面體PABC中，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CA的中點(diǎn)．給出下面四個(gè)結(jié)論：
①BC∥平面PDF；②DF⊥平面PAE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面PAE⊥平面ABC，
其中所有不正確的結(jié)論的序號(hào)是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E是SA上一點(diǎn)，試探求點(diǎn)E的位置，使SC∥平面EBD，并證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：BE∥平面PDF；
（2）求證：平面PDF⊥平面PAB；
（3）求二面角P-BC-A的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°、邊長(zhǎng)為a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，點(diǎn)M、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn)．
（1）證明：DN∥平面PMB；
（2）證明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求點(diǎn)A到平面PMB的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為DD1、DB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面ABC1D1；
（2）求證：EF⊥B1C；
（3）求三棱錐VB1-EFC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（文科做）已知平面α∥面β，AB、CD為異面線段，AB?α，CD?β，且AB=a，CD=b，AB與CD所成的角為θ，平面γ∥面α，且平面γ與AC、BC、BD、AD分別相交于點(diǎn)M、N、P、Q．
（1）若a=b，求截面四邊形MNPQ的周長(zhǎng)；
（2）求截面四邊形MNPQ面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，∠CAA1=60°，AA1=2AC，BC⊥平面AA1C1C．
（1）證明：A1C⊥AB；
（2）設(shè)BC=AC=2，求三棱錐C-A1BC1的體積．

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同步練習(xí)冊(cè)答案