Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+bx，a，b是都不為零的常數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在R上是單調函數(shù)，求a，b滿足的條件；
（2）設函數(shù)g（x）=f′（x）-b-e^x，若g（x）有兩個極值點x₁，x₂，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,函數(shù)零點的判定定理

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）若函數(shù)f（x）在R上是單調函數(shù)，只要f'（x）=ax²+b＞0或f'（x）=ax²+b＜0即可，即△＜0即可；
（2）由題意得若g（x）有兩個極值點x₁，x₂，則則x₁，x₂是g'（x）=2ax-e^x=0的兩個根，
即方程2a=

ex

x

有兩個根，設h(x)=

ex

x

，利用導數(shù)求得h（x）的最小值，h（x）_min即可求得結論．

解答： 解（1）f'（x）=ax²+b，若函數(shù)f（x）是單調函數(shù)，則由△＜0得ab＞0．
（2）由g（x）=ax²-e^x，若g（x）有兩個極值點x₁，x₂，
則x₁，x₂是g'（x）=2ax-e^x=0的兩個根，又x=0不是該方程的根，所以方程2a=

ex

x

有兩個根，
設h(x)=

ex

x

，求導得：h′(x)=

ex(x-1)

x2

①當x＜0時，h（x）＜0，且h'（x）＜0，h（x）單調遞減；
②當x＞0時，h（x）＞0，
若0＜x＜1，h'（x）＜0，h（x）單調遞減；
若x＞1，h'（x）＞0，h（x）單調遞增；
若方程2a=

ex

x

有兩個根，只需：2a＞h（1）=e，
所以a＞

e

2

．

點評：本題考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性及求函數(shù)的最值知識，考查學生運用轉化和劃歸思想解決問題的能力，屬難題．