Question

已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

，圓C的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=-2+2sinθ

（其中θ為參數(shù)）
（Ⅰ）判斷直線l圓C的位置關(guān)系；
（Ⅱ）若橢圓的參數(shù)方程為

x=2cosφ y= 3 sinφ

（φ為參數(shù)），過(guò)圓C的圓心且與直線l垂直的直線l′與橢圓相交于兩點(diǎn)A、B，求|CA|•|CB|．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程,圓的參數(shù)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）把直線l的極坐標(biāo)方程、圓的參數(shù)方程化為普通方程，利用圓心C到直線l的距離d與半徑r的關(guān)系判定直線l與圓C的位置關(guān)系；
（Ⅱ）把橢圓的參數(shù)方程化為普通方程，由直線l求出直線l′的參數(shù)方程，把直線l′的參數(shù)方程代入橢圓的普通方程中，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義，得出|CA|•|CB|=|t₁t₂|．

解答： 解：（Ⅰ）將直線l的極坐標(biāo)方程ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

化為直角坐標(biāo)方程是x+y-1=0，
將圓的參數(shù)方程化為普通方程是x²+（y+2）²=4，
∴圓心為C（0，-2），半徑為r=2；
∴圓心C到直線l的距離為d=

|0-2-1|

2

=

3

2

=

2 2

2

＞r=2，
∴直線l與圓C相離；
（Ⅱ）將橢圓的參數(shù)方程化為普通方程是

x2

4

+

y2

3

=1，
又∵直線l：x+y-1=0的斜率為k₁=-1，
∴直線l′的斜率為k₂=1，即傾斜角為

π

4

；
則直線l′的參數(shù)方程為：

x=tcos π 4 y=-2+tsin π 4

，
即

x= 2 2 t y=-2+ 2 2 t

（t為參數(shù)）；
把直線l′的參數(shù)方程

x= 2 2 t y=-2+ 2 2 t

代入

x2

4

+

y2

3

=1
得：7t²-16

2

t+8=0；
由于△=(-16

2

)2-4×7×8＞0，
∴設(shè)t₁、t₂是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，
則有

t1+t2= 16 2 7 t1t2= 8 7

；
又直線l′過(guò)點(diǎn)C（0，-2），
∴由上式及t的幾何意義，得：
|CA|•|CB|=|t₁t₂|=

8

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)先把參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程化為普通方程，要明確參數(shù)方程中的參數(shù)的集合意義，是中檔題．