Question

已知

p

=（1+

3

cos2x，1），

q

=（-1，sin2x+n）（x∈R，n∈N^*），且f（x）=

p

•

q

．
（Ⅰ）在銳角△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且c=3，△ABC的面積為3

3

，當n=1時，f（A）=

3

，求a的值．
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為a_n（a_n為數列{a_n}的通項公式），又數列{b_n}滿足b_n=

1

an-1an

，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,平面向量數量積的運算,三角函數中的恒等變換應用

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）先求出f（x）=

p

•

q

=2sin(2x-

π

3

)+n-1當n=1是，由f（A）=

3

得2sin(2x-

π

3

)=

3

，求出A的值，由三角形的面積公式及余弦定理求出a；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出f（x）取最大值為n+1，得到數列{a_n}的通項公式，bn=

1

an-1•an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，求出數列的前n項和．

解答： 解（Ⅰ）f（x）=

p

•

q

=-1-

3

cos2x+sin2x+n
=sin2x-

3

cos2x+n-1
=2sin(2x-

π

3

)+n-1…（2分）
當n=1是，由f（A）=

3

得2sin(2x-

π

3

)=

3

，
∴2sin(2A-

π

3

)=

3

2

，又△ABC是銳角三角形，
∴-

π

3

＜2A-

π

3

＜

2π

3

∴∴2A-

π

3

=

π

3

即A=

π

3

，…（4分）
又由S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

b×

3

2

=3

3

得：b=4，…（5分）
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=13
∴a=

13

…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=2sin(2x-

π

3

)+n-1
由0≤x≤

π

2

，可得：-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，當2x-

π

3

=

π

2

即x=

5π

12

時，
此時sin(2x-

π

3

)=1，∴f（x）取最大值為n+1，∴a_n=n+1…（10分）
又bn=

1

an-1•an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

  …（13分）

點評：本題考查三角不等式解法；三角形的正弦定理、余弦定理；數列的求和方法：關鍵看通項的特點．