Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)為S_n，且S_n=2a_n-1，n∈N^*，使得

aman

=2a₁，則

1

m

+

9

n

的最小值為（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、不存在

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用遞推關(guān)系可得a_n，再利用指數(shù)運(yùn)算法則可得m+n=4，再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

解答： 解：由S_n=2a_n-1，n∈N^*，
取n=1時(shí)，a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），
化為a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比q=2．
∴an=a1qn-1=1×2^n-1=2^n-1．
∵

aman

=2a₁，
∴

2m-1•2n-1

=2×1，
∴2^m+n-2=2²．
∴m+n-2=2，
化為m+n=4．
∴

1

m

+

9

n

=

1

4

(m+n)(

1

m

+

9

n

)=

1

4

(10+

n

m

+

9m

n

)≥

1

4

(10+2

n m • 9m n

)=4，當(dāng)且僅當(dāng)n=3m=3時(shí)取等號(hào)．
∴

1

m

+

9

n

的最小值為4．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、指數(shù)運(yùn)算法則可、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．