試題分析:(Ⅰ)根據(jù)題意
是
與
的等差中項,由等差中項不難得出三者的關(guān)系
,又由
為等比數(shù)列,回歸基本量即可求出公比
的值,就可求出的通項公式; (Ⅱ)由數(shù)列
滿足
,可化簡求得
的表達式,即
,由(Ⅱ)中所給條件
為等差數(shù)列,可想到它的前三項一定符合等差數(shù)列的要求,即滿足
,可求出
的值,這樣得到
的表達式,通過等差數(shù)列的定義對所求
表達式進行驗證,得出是一個等差數(shù)列;(Ⅲ)由題目在
與
之間插入
個2,即
和
之間插入2k個2,這樣不難發(fā)現(xiàn)這個數(shù)列的前三項均為2,這
顯然成立,推到一般情形去證明當(dāng)
時,等式左邊
,右邊
,化簡得
,可根據(jù)特點可令函數(shù)
,可對其求導(dǎo)進行分析函數(shù)的單調(diào)性情況,發(fā)現(xiàn)最小值
成立,從而就可得出符合題意的
值.
試題解析:解:(Ⅰ)因為
,所以
,
解得
(舍),則
3分
又
,所以
5分
(Ⅱ)由
,得
,
所以
,
則由
,得
8分
而當(dāng)
時,
,由
(常數(shù))知此時數(shù)列
為等差數(shù)列 10分
(Ⅲ)因為
,易知
不合題意,
適合題意 11分
當(dāng)
時,若后添入的數(shù)2
,則一定不適合題意,從而
必是數(shù)列
中的
某一項
,則
,
所以
,即
13分
記
,則
,
因為
,
所以當(dāng)
時,
,又
,
從而
,故
在[3,
遞增.
則由
知
=0在[3,
無解,
即
都不合題意 15分
綜上知,滿足題意的正整數(shù)僅有m=2 16分