已知函數(shù)，如果函數(shù)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，且.
（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求的最小值，并指出此時(shí)的值.

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）最小值為，此時(shí).

解析試題分析：（Ⅰ）函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，等價(jià)于有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不同的零點(diǎn)和，利用導(dǎo)數(shù)判斷的形狀， ，發(fā)現(xiàn)函數(shù)當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，故；（Ⅱ），又，故，是自變量為，定義域的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，并計(jì)算相應(yīng)的值．
試題解析：（Ⅰ）∵ 函數(shù)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，即有兩個(gè)零點(diǎn)，，
∴方程有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，， 令，，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，∴ 在時(shí)取得最小值．
∴ ．
（Ⅱ）∵，即，∴，于是
， ∴，∵，∴．
∴ 當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)．
∴ 在上的最小值為，此時(shí).
考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性上的應(yīng)用；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，現(xiàn)要在邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)建一個(gè)交通“環(huán)島”.正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心在四個(gè)角分別建半徑為（不小于）的扇形花壇，以正方形的中心為圓心建一個(gè)半徑為的圓形草地.為了保證道路暢通，島口寬不小于，繞島行駛的路寬均不小于.

（1）求的取值范圍；（運(yùn)算中取）
（2）若中間草地的造價(jià)為元，四個(gè)花壇的造價(jià)為元，其余區(qū)域的造價(jià)為元，當(dāng)取何值時(shí)，可使“環(huán)島”的整體造價(jià)最低？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝在x＝0，x＝處存在極值。
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a,b的值；
（Ⅱ）函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)A,B使得△AOB是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊AB的中點(diǎn)在y軸上，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
(Ⅲ）當(dāng)c＝e時(shí)，討論關(guān)于x的方程f(x)＝kx(k∈R)的實(shí)根個(gè)數(shù)。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（13分）已知函數(shù)．
(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)，其中，曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函數(shù)的極值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)，其中為常數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若任取，求函數(shù)在上是增函數(shù)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)，，其中且．
(Ⅰ) 當(dāng)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(Ⅱ)若時(shí)，函數(shù)有極值，求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù) （是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），是否存在a使在上為減函數(shù)，若存在，求實(shí)數(shù)a的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

定義函數(shù)為的階函數(shù).
（1）求一階函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論方程的解的個(gè)數(shù)；
（3）求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)，其中，曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸.
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的極值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案