定義在上的單調(diào)函數(shù)滿足,且對任意都有
(1)求證:為奇函數(shù);
(2)若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
(1)證明見試題解析;(2).
解析試題分析:(1)這是抽象函數(shù)問題,要證明它是奇函數(shù),當然要根據(jù)奇函數(shù)的定義,證明或,由此在已知式里設,從而有,因此我們還要先求出,這個只要設或者有一個為0即可得,故可證得為奇函數(shù);(2)不等式可以利用為奇函數(shù)的結論,變形為,再利用函數(shù)的單調(diào)性去掉符號“”,轉(zhuǎn)化為關于的不等式恒成立問題,即對任意成立,這時還需要用換元法(設)變化二次不等式怛成立,當然不要忘記的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)證明:∵ ①
令,代入①式,得即
令,代入①式,得,又
則有即對任意成立,
所以是奇函數(shù). 4分
(Ⅱ)解:,即,又在上是單調(diào)函數(shù),
所以在上是增函數(shù).
又由(1)是奇函數(shù).
,即對任意成立.
令,問題等價于對任意恒成立. 8分
令其對稱軸.
當時,即時,,符合題意; 10分
當時,對任意恒成立
解得 12分
綜上所述,對任意恒成立時,
實數(shù)的取值范圍是:. 13分
考點:(1)奇函數(shù)的定義;;(2)不等式恒成立問題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知偶函數(shù)滿足:當時,,當時,.
(1)求當時,的表達式;
(2)試討論:當實數(shù)滿足什么條件時,函數(shù)有4個零點,且這4個零點從小到大依次構成等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)=,=,若曲線和曲線都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線.
(Ⅰ)求,,,的值;
(Ⅱ)若時,≤,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,某生態(tài)園欲把一塊四邊形地辟為水果園,其中, ,.若經(jīng)過上一點和上一點鋪設一條道路,且將四邊形分成面積相等的兩部分,設.
(1)求的關系式;
(2)如果是灌溉水管的位置,為了省錢,希望它最短,求的長的最小值;
(3)如果是參觀路線,希望它最長,那么的位置在哪里?
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