【題目】定義向量 =(a,b)的“相伴函數(shù)”為f(x)=asinx+bcosx,函數(shù)f(x)=asinx+bcosx的“相伴向量”為 =(a,b)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S.
(1)設(shè)g(x)=3sin(x+ )+4sinx,求證:g(x)∈S;
(2)已知h(x)=cos(x+α)+2cosx,且h(x)∈S,求其“相伴向量”的模;
(3)已知M(a,b)(b≠0)為圓C:(x﹣2)2+y2=1上一點(diǎn),向量 的“相伴函數(shù)”f(x)在x=x0處取得最大值.當(dāng)點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求tan2x0的取值范圍.

【答案】
(1)解:g(x)=3sin(x+ )+4sinx=4sinx+3cosx,

其‘相伴向量’ =(4,3),g(x)∈S


(2)解:h(x)=cos(x+α)+2cosx

=(cosxcosα﹣sinxsinα)+2cosx

=﹣sinαsinx+(cosα+2)cosx

∴函數(shù)h(x)的‘相伴向量’ =(﹣sinα,cosα+2).

則| |= =


(3)解: 的‘相伴函數(shù)’f(x)=asinx+bcosx= sin(x+φ),

其中cosφ= ,sinφ=

當(dāng)x+φ=2kπ+ ,k∈Z時(shí),f(x)取到最大值,故x0=2kπ+ ﹣φ,k∈Z.

∴tanx0=tan(2kπ+ ﹣φ)=cotφ= ,

tan2x0= = =

為直線OM的斜率,由幾何意義知: ∈[﹣ ,0)∪(0, ].

令m= ,則tan2x0= ,m∈[﹣ ,0)∪(0, }.

當(dāng)﹣ ≤m<0時(shí),函數(shù)tan2x0= 單調(diào)遞減,∴0<tan2x0

當(dāng)0<m≤ 時(shí),函數(shù)tan2x0= 單調(diào)遞減,∴﹣ ≤tan2x0<0.

綜上所述,tan2x0∈[﹣ ,0)∪(0, ].


【解析】(1)先利用誘導(dǎo)公式對(duì)其化簡,再結(jié)合定義即可得到證明;(2)先根據(jù)定義求出其相伴向量,再代入模長計(jì)算公式即可;(3)先根據(jù)定義得到函數(shù)f(x)取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量x0;再結(jié)合幾何意義求出 的范圍,最后利用二倍角的正切公式即可得到結(jié)論.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AD=1,AB=2,點(diǎn)E是C1D1的中點(diǎn).
(1)求證:DE⊥平面BCE;
(2)求二面角A﹣EB﹣C的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知兩直線l1:ax﹣by+4=0,l2:(a﹣1)x+y+b=0,求分別滿足下列條件的a,b的值.
(1)直線l1過點(diǎn)(﹣3,﹣1),且l1⊥l2;
(2)l1∥l2 , 且坐標(biāo)原點(diǎn)到l1與l2的距離相等.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為 , 其中左焦點(diǎn)F(﹣2,0).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且線段的中點(diǎn)M在圓x2+y2=1上,求m的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程;

(2)若任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)設(shè) ,

證明: .

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】將邊長為2正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A﹣BD﹣C,有如下四個(gè)判斷:
①AC⊥BD
②AB與平面BCD所成60°角
③△ABC是等邊三角形
④若A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則該球的表面積為8π
其中正確判斷的序號(hào)是

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖是綿陽市某小區(qū)100戶居民2014年平均用水量(單位:t)的頻率分布直方圖,則該小區(qū)2014年的月平均用水量的眾數(shù),中位數(shù)的估計(jì)值分別是(

A.2,2.5
B.2,2.02
C.2.25,2.5
D.2.25,2.02

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了分析某籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中發(fā)揮的穩(wěn)定程度,統(tǒng)計(jì)了運(yùn)動(dòng)員在8場比賽中的得分,用莖葉圖表示如圖,則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為( )

A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知雙曲線的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)分別是橢圓 =1(a>b>0)的焦點(diǎn)與頂點(diǎn),若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點(diǎn)構(gòu)成的四邊形恰為正方形,則橢圓的離心率為(
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案