【題目】如圖,長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AD=1,AB=2,點(diǎn)E是C1D1的中點(diǎn).
(1)求證:DE⊥平面BCE;
(2)求二面角A﹣EB﹣C的大。
【答案】(1)證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則D(0,0,0),E(0,1,1),
B(1,2,3),C(0,2,0),
∴=(0,1,1),=(﹣1,﹣1,1),=(﹣1,0,0),
∵=0,=0,
∴DE⊥BE,DE⊥BC,
∵BE平面BCE,BC平面BCE,BE∩BC=B,
∴DE⊥平面BCE.
(2)解:設(shè)平面AEB的法向量=(x,y,z),
則,
取x=1,得=(1,0,1),
∵DE⊥平面BCE,∴=(0,1,1)是平面BCE的法向量,
∵cos<,>==,
∴二面角A﹣EB﹣C的大小為120°.
【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明DE⊥平面BCE.
(2)求出平面AEB的法向量和平面BCE的法向量,再利用向量法求出二面角A﹣EB﹣C的大。
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),并且當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=2x .
(1)求f(log2 )的值;
(2)求f(x)的解析式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓: 的離心率,短軸右端點(diǎn)為, 為線段的中點(diǎn).
(Ⅰ) 求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)任作一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn),試探究在軸上是否存在定點(diǎn),使得,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某車間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工某零件所花費(fèi)的時(shí)間,為此做了四次實(shí)驗(yàn),得到的數(shù)據(jù)如表:
零件的個(gè)數(shù)x(個(gè)) | 2 | 3 | 4 | 5 |
加工的時(shí)間y(小時(shí)) | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程y= x+ ,并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線;
(3)試預(yù)測加工6個(gè)零件需要多少時(shí)間?
(注: = , = ﹣ )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有下列命題:
①雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn);
②“”是“2x2﹣5x﹣3<0”必要不充分條件;
③“若xy=0,則x、y中至少有一個(gè)為0”的否命題是真命題.;
④若p是q的充分條件,r是q的必要條件,r是s的充要條件,則s是p的必要條件;
其中是真命題的有: .(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)命題p:實(shí)數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0,命題q:實(shí)數(shù)x滿足 .
(Ⅰ)若a=1,且p∧q為真,求實(shí)數(shù)x的取值范圍;
(Ⅱ)若¬p是¬q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+2sinα(α∈(0,))的導(dǎo)函數(shù)f′(x),若存在x0<1使得f′(x0)=f(x0)成立,則實(shí)數(shù)α的取值范圍為( )
A.( , )
B.(0,)
C.( , )
D.(0,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率.以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的周長為8,面積為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn),直線的方程為,求證:直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義向量 =(a,b)的“相伴函數(shù)”為f(x)=asinx+bcosx,函數(shù)f(x)=asinx+bcosx的“相伴向量”為 =(a,b)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S.
(1)設(shè)g(x)=3sin(x+ )+4sinx,求證:g(x)∈S;
(2)已知h(x)=cos(x+α)+2cosx,且h(x)∈S,求其“相伴向量”的模;
(3)已知M(a,b)(b≠0)為圓C:(x﹣2)2+y2=1上一點(diǎn),向量 的“相伴函數(shù)”f(x)在x=x0處取得最大值.當(dāng)點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求tan2x0的取值范圍.
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