Question

【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

(2)若任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

(3)設(shè)， ，

證明： .

Answer 1

【答案】(1) ；(2)： ；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：

(1) 求導(dǎo),易得結(jié)果為;

(2) 原不等式等價于,令,,令,分, ,三種情況討論函數(shù)的單調(diào)性,則可得結(jié)論;

(3) 利用定積分求出m的值,由(2)知,當時, ,則, 令, ,求導(dǎo)并判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出, 即在上恒成立, 令,則結(jié)論易得.

試題解析：

(1) ， ，∴切線為

(2) ，令

則

又令

①當，即時， 恒成立，∴遞增

∴，∴，∴遞增

∴ (不合題意)

②當即時， 遞減，

∴，∴，∴遞減

∴ (符合題意)

③當，即時，由

，∴在上， ，使

且時， ，∴遞增，∴ (不符合題意)

綜上： .

(3)

∴，由(2)知，當時， ，∴，

又令， ，∴遞減

即在上恒成立，令

∴原不等式

∴左式右式

∴得證.