【題目】如圖,在直三棱柱中,,點分別為棱的中點.
(Ⅰ)求證:∥平面
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)在線段上是否存在一點,使得直線與平面所成的角為300?如果存在,求出線段的長;如果不存在,說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)1.
【解析】
(1) 方法一:取中點為,連結(jié),,要證平面,即證:,;方法二:以為原點,分別以為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系,求出平面的法向量為,又因為,即可得證.(2)方法一:要證平面平面,轉(zhuǎn)證平面即證;方法二:分別求出兩個平面的法向量即可得證.(3)建立空間直角坐標系,利用坐標法即可得到結(jié)果.
方法一:(1)取中點為,連結(jié),
由且,
又點為中點,所以 ,
又因為分別為,中點,所以 ,
所以,
所以共面于平面 ,
因為,分別為中點, 所以,
平面,
平面,
所以平面 .
方法二:在直三棱柱中,平面
又因為,
以為原點,分別以為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系,
由題意得,.
所以,,
設(shè)平面的法向量為,則
,即,
令,得,
于是 ,
又因為,
所以 ,
又因為平面,
所以平面 .
(2)方法一:在直棱柱中,平面,
因為 ,所以,
又因為,
且,
所以平面 ,
平面,所以,
又,四邊形為正方形,
所以 ,
又,所以,
又,
且,
所以平面 ,
又平面,
所以平面平面 .
方法二:設(shè)平面的法向量為,,
,即 ,
令,得,
于是 ,
,
即,所以平面平面.
(3)設(shè)直線與平面所成角為,則,
設(shè),則 ,
,
所以 ,
解得或(舍),
所以點存在,即的中點,.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為分別為其左、右焦點,為橢圓上一點,且的周長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點作關(guān)于軸對稱的兩條不同的直線,若直線交橢圓于一點,直線交橢圓于一點,證明:直線過定點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已兩動圓和,把它們的公共點的軌跡記為曲線,若曲線與軸的正半軸交點為,且曲線上異于點的相異兩點、滿足.
(1)求曲線的方程;
(2)證明直線恒經(jīng)過一定點,并求出此定點的坐標.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)當時,記的最小值為,求證:.
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【題目】下表是某地一家超市在2018年一月份某一周內(nèi)周2到周6的時間與每天獲得的利潤(單位:萬元)的有關(guān)數(shù)據(jù).
星期 | 星期2 | 星期3 | 星期4 | 星期5 | 星期6 |
利潤 | 2 | 3 | 5 | 6 | 9 |
(1)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求線性回歸直線方程;
(2)估計星期日獲得的利潤為多少萬元.
參考公式:
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【題目】大城市往往人口密集,城市綠化在健康人民群眾肺方面發(fā)揮著非常重要的作用,歷史留給我們城市里的大山擁有品種繁多的綠色植物更是無價之寶.改革開放以來,有的地方領(lǐng)導(dǎo)片面追求政績,對森林資源野蠻開發(fā)受到嚴肅查處事件時有發(fā)生.2019年的春節(jié)后,廣西某市林業(yè)管理部門在“綠水青山就是金山銀山”理論的不斷指引下,積極從外地引進甲、乙兩種樹苗,并對甲、乙兩種樹苗各抽測了10株樹苗的高度(單位:厘米),數(shù)據(jù)如下面的莖葉圖:
(1)據(jù)莖葉圖求甲、乙兩種樹苗的平均高度;
(2)據(jù)莖葉圖,運用統(tǒng)計學(xué)知識分析比較甲、乙兩種樹苗高度整齊情況.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場為提高服務(wù)質(zhì)量,隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客,每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價,得到下面列聯(lián)表:
滿意 | 不滿意 | |
男顧客 | 40 | 10 |
女顧客 | 30 | 20 |
(1)分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率;
(2)能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異?
附:.
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸,我國航天事業(yè)取得又一重大成就,實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題,發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”,鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行.點是平衡點,位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為M1,月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,點到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律,r滿足方程:
.
設(shè),由于的值很小,因此在近似計算中,則r的近似值為
A. B.
C. D.
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【題目】某種植園在芒果臨近成熟時,隨機從一些芒果樹上摘下100個芒果,其質(zhì)量分別在,,,,,(單位:克)中,經(jīng)統(tǒng)計的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表);
(2)現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為[200,250),[250,300)的芒果中隨機抽取5個,再從這5個中隨機抽取2個,求這2個芒果都來自同一個質(zhì)量區(qū)間的概率;
(3)某經(jīng)銷商來收購芒果,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表,用樣本估計總體,該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個,經(jīng)銷商提出以下兩種收購方案:
方案①:所有芒果以9元/千克收購;
方案②:對質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個收購,對質(zhì)量高于或等于250克的芒果以3元/個收購.
通過計算確定種植園選擇哪種方案獲利更多.
參考數(shù)據(jù):.
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