【題目】已兩動(dòng)圓和，把它們的公共點(diǎn)的軌跡記為曲線，若曲線與軸的正半軸交點(diǎn)為，且曲線上異于點(diǎn)的相異兩點(diǎn)、滿足.

(1)求曲線的方程；

(2)證明直線恒經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】（1）；（2）直線恒過(guò)定點(diǎn)。

【解析】

（1）設(shè)兩動(dòng)圓的公共點(diǎn)為，則有，運(yùn)用橢圓的定義，即可得到，，，進(jìn)而得到的軌跡方程；

（2），設(shè)，，，，根據(jù)直線的斜率不存在和存在，設(shè)出直線方程，根據(jù)條件，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合韋達(dá)定理和直線恒過(guò)定點(diǎn)的求法，即可得到定點(diǎn)；

解：（1）設(shè)兩動(dòng)圓的公共點(diǎn)為，則有．

由橢圓的定義可知的軌跡是以、為焦點(diǎn)橢圓，且．，

所以曲線的方程是：．

（2）證明：由題意可知：，設(shè)，，，，

當(dāng)的斜率不存在時(shí)，易知滿足條件的直線為：，過(guò)定點(diǎn)；

當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立方程組：，

把②代入①有：，

③，④，

因?yàn)?/span>，所以有即，

，

把③④代入整理：，

（有公因式繼續(xù)化簡(jiǎn)得，或（舍去，

綜上，直線恒過(guò)定點(diǎn)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知命題，；．

（1）若為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2））若為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線與橢圓有一個(gè)相同的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與軸不垂直的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.

（1）求拋物線的方程；

（2）試問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若四面體的三組對(duì)棱分別相等，即，給出下列結(jié)論：

①四面體每組對(duì)棱相互垂直；

②四面體每個(gè)面的面積相等；

③從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大而小于；

④連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是__________． (寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】央視春晚長(zhǎng)春分會(huì)場(chǎng)，演員身穿獨(dú)特且輕薄的石墨烯發(fā)熱服，在寒氣逼人的零下春晚現(xiàn)場(chǎng)表演了精彩的節(jié)目.石墨烯發(fā)熱服的制作：從石墨中分離出石墨烯，制成石墨烯發(fā)熱膜，再把石墨烯發(fā)熱膜鋪到衣服內(nèi).

（1）從石墨分離石墨烯的一種方法是化學(xué)氣相沉積法，使石墨升華后附著在材料上再結(jié)晶�，F(xiàn)在有材料、材料供選擇，研究人員對(duì)附著在材料上再結(jié)晶做了次試驗(yàn)，成功次；對(duì)附著在材料上再結(jié)晶做了次試驗(yàn)，成功次.用二列聯(lián)表判斷：是否有的把握認(rèn)為試驗(yàn)是否成功與材料和材料的選擇有關(guān)？

材料

材料

成功

不成功

（2）研究人員得到石墨烯后，再制作石墨烯發(fā)熱膜有四個(gè)環(huán)節(jié)：①透明基底及膠層；②石墨烯層；③銀漿線路；④表面封裝層。前三個(gè)環(huán)節(jié)每個(gè)環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率為，每個(gè)環(huán)節(jié)不合格需要修復(fù)的費(fèi)用均為元；第四環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率為元，問(wèn)：一次生產(chǎn)出來(lái)的石墨烯發(fā)熱膜成為合格品平均需要多少修復(fù)費(fèi)用？

附：，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】給出下列4個(gè)命題，其中正確命題的序號(hào)____________.

①；

②函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)；

③函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。

④已知，函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的最小值是.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本題滿分10分)

在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線向左平移2個(gè)單位，再將得到的曲線上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線的參數(shù)方程；

（2）已知點(diǎn)在第一象限，四邊形是曲線的內(nèi)接矩形，求內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值，并求周長(zhǎng)最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：∥平面

(Ⅱ)求證：平面平面;

(Ⅲ)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為300?如果存在，求出線段的長(zhǎng)；如果不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線上兩點(diǎn)、，焦點(diǎn)滿足，線段的垂直平分線過(guò).

（1）求拋物線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線，使得拋物線上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離都為，求直線的方程.

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