【題目】已知曲線上的點到點的距離比到直線的距離小，為坐標原點.

（1）過點且傾斜角為的直線與曲線交于、兩點，求的面積；

（2）設為曲線上任意一點，點，是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，說明理由.

【答案】（1）；（2）直線存在，其方程為，定值為.

【解析】

（1）利用拋物線的定義可求得曲線的方程，由題意可得直線的方程為，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用三角形的面積公式可求得的面積；

（2）假設滿足條件的直線存在，其方程為，并設點，求出以為直徑的圓的方程，將代入圓的方程，求出弦長的表達式，進而可求得的值，由此可求得直線的方程.

（1）依題意得，曲線上的點到點的距離與到直線的距離相等，

所以曲線的方程為：.

過點且傾斜角為的直線方程為，

設，，聯(lián)立，得，

則，，則；

（2）假設滿足條件的直線存在，其方程為，設點，

則以為直徑的圓的方程為，

將直線代入，得，

則，

設直線與以為直徑的圓的交點為、，

則，，

于是有，

當，即時，為定值.

故滿足條件的直線存在，其方程為.

練習冊系列答案
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【題目】如圖，已知三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，且，，、分別是、的中點，點在線段上，且.

（1）求證：不論取何值，總有；

（2）當時，求平面與平面所成二面角的余弦值.

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【題目】已知6名某疾病病毒密切接觸者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通過化驗血液來確定感染者.血液化驗結(jié)果呈陽性的即為感染者，呈陰性即為健康.

（1）若從這6名密切接觸者中隨機抽取3名，求抽到感染者的概率；

（2）血液化驗確定感染者的方法有：①逐一化驗；②分組混合化驗：先將血液分成若干組，對組內(nèi)血液混合化驗，若化驗結(jié)果呈陰性，則該組血液不含病毒；若化驗結(jié)果呈陽性，則對該組的備份血液逐一化驗，直至確定感染者.

（i）采取逐一化驗，求所需檢驗次數(shù)的數(shù)學期望；

（ii）采取平均分組混合化驗（每組血液份數(shù)相同），依據(jù)所需化驗總次數(shù)的期望，選擇合理的平均分組方案.

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【題目】已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，其面積S．

（1）若a，b，求cosB．

（2）求sin（A+B）+sinBcosB+cos（B﹣A）的最大值．

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【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程和的直角坐標方程；

（2）已知曲線的極坐標方程為，點是曲線與的交點，點是曲線與的交點，、均異于原點，且，求實數(shù)的值.

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【題目】已知函數(shù).

（1）若，則當時，討論的單調(diào)性；

（2）若，且當時，不等式在區(qū)間上有解，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，設，.

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）若，，求實數(shù)的最小值；

（Ⅲ）當時，給出一個新數(shù)列，其中，設這個新數(shù)列的前項和為，若可以寫成（，且，）的形式，則稱為“指數(shù)型和”.問中的項是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請說明理由.

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【題目】是自然對數(shù)的底數(shù)，，已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）對于，證明:當時，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點．過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

（1）證明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；

（2）設O為△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱錐B–EB1C1F的體積．

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