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【題目】如圖，已知三棱柱中，側棱與底面垂直，且，，、分別是、的中點，點在線段上，且.

（1）求證：不論取何值，總有；

（2）當時，求平面與平面所成二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）以點為坐標原點，以、、所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標系，求出向量和的坐標，通過可證明出；

（2）分別求出平面的一個法向量和平面的法向量，由此利用向量法能求出平面與平面所成銳二面角的余弦值．

以點為坐標原點，以、、所在直線分別為、、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，則，，，.

（1），，

，

.

，，

因此，無論取何值，；

（2）當時，，，，

而平面的法向量，設平面的法向量為，

則，解得，則，

設為平面與平面所成的銳二面角，則.

因此，平面與平面所成二面角的余弦值是.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數為自然對數的底數）．

（1）求函數的值域；

（2）若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍；

（3）證明：．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某客戶準備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為二級過濾，使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采用并聯安裝，再與一級過濾器串聯安裝.

其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現在使用過程中，一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換（每個濾芯是否需要更換相互獨立）.若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯，則一級濾芯每個160元，二級濾芯每個80元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯則一級濾芯每個400元，二級濾芯每個200元.現需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數量，為此參考了根據100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內更換濾芯的相關數據制成的圖表，其中表1是根據100個一級過濾器更換的濾芯個數制成的頻數分布表，圖2是根據200個二級過濾器更換的濾芯個數制成的條形圖.

表1：一級濾芯更換頻數分布表

一級濾芯更換的個數

8

9

頻數

60

40

圖2：二級濾芯更換頻數條形圖

以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以200個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.

（1）求一套凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的各級濾芯總個數恰好為16的概率；

（2）記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內需要更換的二級濾芯總數，求的分布列及數學期望；

（3）記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數.若，且，以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據，試確定的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知直角梯形ABCD中，，，，將直角梯形ABCD（及其內部）以AB所在直線為軸順時針旋轉90°，形成如圖所示的幾何體，其中M為的中點.

（1）求證：；

（2）求異面直線BM與EF所成角的大小.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在中，，.已知分別是的中點.將沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，連接，如圖：

（1）證明：平面平面

（2）求平面與平面所成二面角的大小.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】焦點在x軸上的橢圓C：經過點，橢圓C的離心率為．，是橢圓的左、右焦點，P為橢圓上任意點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若點M為的中點（O為坐標原點），過M且平行于OP的直線l交橢圓C于A，B兩點，是否存在實數，使得；若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】己知圓，圓．

（1）證明：圓與圓有公共點，并求公共點的軌跡的方程；

（2）已知點，過點且斜率為的直線與（1）中軌跡相交于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，是否存在實數使得為定值？若存在，求出的值，若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】三個幾何體組合的正視圖和側視圖均為如下圖所示，則下列圖中能作為俯視圖的個數為（ ）

A.1B.2C.3D.4

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【題目】已知曲線上的點到點的距離比到直線的距離小，為坐標原點.

（1）過點且傾斜角為的直線與曲線交于、兩點，求的面積；

（2）設為曲線上任意一點，點，是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，說明理由.

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