Question

如圖，是以為直徑的半圓上異于的點(diǎn)，矩形所在的平面垂直于半圓所在的平面，且。

（1）求證：。
（2）若異面直線(xiàn)和所成的角為，求平面和平面所成的銳二面角的余弦值。

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）

試題分析：（1）由面面垂直的性質(zhì)定理可得面，從而可得，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041738670539.png" style="vertical-align:middle;" />可證得平面，從而可證。（2）異面直線(xiàn)和所成的角即為直線(xiàn)和所成的角即。可用空間向量法求所求的二面角，先建系，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，和向量坐標(biāo)，分別求平面和平面的法向量，用數(shù)量積公式求兩法向量夾角的余弦值。但需注意兩法向量所成的角與所求二面角相等或互補(bǔ)，需從圖中觀察得出。
試題解析：（1）∵平面垂直于圓所在的平面，兩平面的交線(xiàn)為，平面，，∴垂直于圓所在的平面.又在圓所在的平面內(nèi)，∴.∵是直角，∴，∴平面,∴.    6分
(2)如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸，過(guò)點(diǎn)與平行的直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由異面直線(xiàn)和所成的角為，知，

∴，
∴，由題設(shè)可知，，∴，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
由，得，，取，得.
∴.又平面的一個(gè)法向量為，∴.
平面與平面所成的銳二面角的余弦值.             13分