Question

如圖，已知平面四邊形中，為的中點(diǎn)，，，
且．將此平面四邊形沿折成直二面角，
連接，設(shè)中點(diǎn)為．

（1）證明：平面平面；
（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）點(diǎn)存在，且為線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)；（3）.

試題分析：（1）分別證明，即可；（2）方法一：先以為原點(diǎn)，分別為軸，建立直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，，，，為中點(diǎn)，故，設(shè)點(diǎn)，利用平面得，據(jù)此可解出；方法二：作交于，注意到，故與相似，因此，于是得；（3）方法一：由于，即為平面的法向量，，，要求直線與平面所成角的正弦值，記直線與平面所成角為，根據(jù)直線與面的夾角正弦正好等于直線與面的法向量的夾角余弦的絕對(duì)值，則知，故只需計(jì)算即可，利用余弦公式有，故；方法二：由于，所以可以轉(zhuǎn)而考慮與平面所成角，為此需要找到在平面內(nèi)的投影，此投影與所成角即為線面夾角，然后求與平面所成角的正弦，于是在中作，而平面平面，由此平面，即為在平面內(nèi)的投影，就等于直線與平面所成角， ，
在中，，，
故.
試題解析：（1）直二面角的平面角為，又，
則平面，所以．
又在平面四邊形中，由已知數(shù)據(jù)易得，而，
故平面，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042426860434.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面平面 （4分）
（2）解法一：由（1）的分析易知，，則以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．

結(jié)合已知數(shù)據(jù)可得，，，，
則中點(diǎn).
平面，故可設(shè)，
則，
平面，，
又，
由此解得，即，
易知這樣的點(diǎn)存在，且為線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)；   （8分）
解法二：（略解）如圖所示，

在中作，交于，
因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042425316448.png" style="vertical-align:middle;" />平面，則有平面．
在中，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，利用三角形相似等知識(shí)可以求得，
故知所求點(diǎn)存在，且為線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)；  ..（8分）
（3）解法一：由（2）是平面的一個(gè)法向量，又，
則得，所以，
記直線與平面所成角為，則知，
故所求角的正弦值為.   ..（12分）
解法二：（略解）如上圖中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042427687587.png" style="vertical-align:middle;" />，所以直線與平面所成角等于直線與平面所成角，由此，在中作于，易證平面，
連接，則為直線與平面所成角，
結(jié)合題目數(shù)據(jù)可求得，故所求角的正弦值為.   ..（12分）