如圖,將邊長為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成一個(gè)直二面角,且EA⊥平面ABD,AE=.

(1)若,求證:AB∥平面CDE;
(2)求實(shí)數(shù)的值,使得二面角AECD的大小為60°.
(1)答案詳見解析;(2)

試題分析:空間向量在立體幾何中的應(yīng)用,最大的優(yōu)點(diǎn)就是避開了傳統(tǒng)立體幾何中“如何添加輔助線”這個(gè)難點(diǎn),使得操作更模式化、易操作.需根據(jù)已知條件尋找(或添加)三條共點(diǎn)的兩兩垂直的三條垂線,分別作為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.(1)由已知,以的方向作為軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示有關(guān)點(diǎn),要證明AB∥平面CDE,只需證明垂直于面CDE的法向量即可.本題還可以利用線面垂直的判定定理證明;(2)分別求出面和面的法向量,并求法向量的夾角,利用余弦值等于列方程,求即可.

試題解析:(1)如圖建立空間指教坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,),D(0,2,0),E(0,0,),
                          2分
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則有
時(shí),                    4分
,又不在平面內(nèi),所以平面;                       7分
(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則
A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,),D(0,2,0),E(0,0,),
,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則有,取時(shí),                  9分
又平面的一個(gè)法向量為,              10分
因?yàn)槎娼?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041923643571.png" style="vertical-align:middle;" />的大小為,
,解得                      14分
,所以.                       15分
練習(xí)冊系列答案
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