Question

已知P是圓M：x²+y²+4x+4-4m²=0（m＞2）上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，0），線段NP的垂直平分線交直線MP于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為C．
（1）求出軌跡C的方程，并討論曲線C的形狀；
（2）當(dāng)m=

5

時(shí)，在x軸上是否存在一定點(diǎn)E，使得對曲線C的任意一條過E的弦AB，

1

|EA|2

+

1

|EB|2

為定值？若存在，求出定點(diǎn)和定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用線段NP的垂直平分線交直線MP于點(diǎn)Q，根據(jù)橢圓的定義，即可求出軌跡C的方程；
（2）先計(jì)算E若存在必為(±

30

3

，0)定值為6，再進(jìn)行證明．

解答： 解：（1）由題意，|PQ|=|QN|，
∴|QN|+|QM|=|QP|+|QM|=|MP|=2m＞4，
∴軌跡C是M，N為焦點(diǎn)，以2m為長軸長的橢圓，方程為m＞2，C：

x2

m2

+

y2

m2-4

=1；
（2）由（1）曲線C為

x2

5

+y2=1，
設(shè)E（x₀，0），分別過E取兩垂直與坐標(biāo)軸的兩條弦CD，C'D'，
則

1

|EC|2

+

1

|ED|2

=

1

|EC′|2

+

1

|ED′|2

，即

2

1- x 2 0 5

=

1

| 5 -x0|2

+

1

|1- 5 -x0|2

解得x0=±

30

3

，所以E若存在必為(±

30

3

，0)定值為6．（6分）
下證(±

30

3

，0)滿足題意．
設(shè)過點(diǎn)E(

30

3

，0)的直線方程為x=ty+

30

3

，代入C中得：(t2+5)y2+

2 30

3

ty-

5

3

=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=-

2 30 t

3(t2+5)

，y₁y₂=-

5

3(t2+5)

（8分）

1

|EA|2

+

1

|EB|2

=

1

(1+t2) y 2 1

+

1

(1+t2) y 2 2

=

1

(1+t2)

(

1

y 1 2

+

1

y 2 2

)=

1

(1+t2)

y 2 1 + y 2 2

y 2 1 y 2 2

=

1

(1+t2)

(y1+y2)2-2y1y2

(y1y2)2

=

1

(1+t2)

( 2 30 t 3(t2+5) )2+2 5 3(t2+5)

( 5 3(t2+5) )2

=6（13分）
同理可得E(-

30

3

，0)也滿足題意．
綜上得定點(diǎn)為E(±

30

3

，0)，定值為

1

|EA|2

+

1

|EB|2

=6．（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了軌跡方程的問題，考查存在性問題，先猜后證是關(guān)鍵．