Question

【題目】一次足球邀請(qǐng)賽共安排了支球隊(duì)參加，每支球隊(duì)預(yù)定的比賽場(chǎng)數(shù)分別是，，…，．若任兩支球隊(duì)之間至多安排了一場(chǎng)比賽，則稱是一個(gè)“有效安排”．證明：若是一個(gè)有效安排，且，則可去掉一支球隊(duì)，并重新調(diào)整各隊(duì)之間的對(duì)局情況，使也是一個(gè)有效安排．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設(shè)預(yù)定比賽場(chǎng)的隊(duì)為．

（1）若的場(chǎng)比賽其對(duì)手恰好就是，，…，，則直接去掉（當(dāng)然，所參與的所有比賽也就被取消了）．于是，剩下的隊(duì)，，…，之間的比賽，以為有效安排．

（2）若球隊(duì)，，…，中有些隊(duì)并未安排與比賽，設(shè)在，，…，中自左至右第一支未安排與比賽的隊(duì)是．

由于要賽場(chǎng)，于是，在，，…，之外必有一支球隊(duì)安排了與比賽（設(shè)為）．

又由于，故必有一支球隊(duì)，它被安排了與比賽而未安排與比賽，如圖所示．

下面對(duì)原安排作如下調(diào)整：

取消與、與的比賽，改為與、與進(jìn)行比賽，其他比賽安排不變．

經(jīng)過(guò)這次調(diào)整后，所有球隊(duì)的比賽場(chǎng)數(shù)不變，且是一個(gè)有效安排．而第一支不與比賽的隊(duì)的序號(hào)至少后移了一個(gè)位置，故經(jīng)有限次這樣的調(diào)整之后，就變成了情形（1）．

因此，結(jié)論得證．