Question

【題目】對于數(shù)列：、、、、，若不改變，僅改變、、、中部分項的符號（可以都不改變），得到的新數(shù)列稱為數(shù)列的一個生成數(shù)列，如僅改變數(shù)列、、、、的第二、三項的符號，可以得到一個生成數(shù)列：、、、、.已知數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列，為數(shù)列的前項和.

（1）寫出的所有可能的值；

（2）若生成數(shù)列的通項公式為，求；

（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于給定的，的所有可能值組成的集合為.

Answer 1

【答案】（1）、、、；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)生成數(shù)列定義，可知當(dāng)時，，、分別為、中取值，由此給出的所有可能的情況，即可計算出的所有可能值；

（2）利用，分、、三種情況討論，利用分組求和與等比數(shù)列的求和公式即可求得；

（3）利用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時命題成立；②假設(shè)當(dāng)時，，證明出，結(jié)合歸納原理即可證明出結(jié)論成立.

（1）由題意得，，

根據(jù)生成數(shù)列的定義，可得，，

又，，，，

因此，所有可能的取值為、、、；

（2），

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，.

綜上所述：；

（3）利用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時，，命題成立；

②假設(shè)當(dāng)時，命題成立，即所有可能值的集合為.

由假設(shè)得.

則當(dāng)時，.

即或，

即，

當(dāng)時，命題成立.

由①②知，對于給定的，的所有可能值組成的集合為.