Question

【題目】已知數(shù)列和滿足：，且成等比數(shù)列，成等差數(shù)列．

（1）行列式，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）在（1）的條件下，若不是常數(shù)列，是等比數(shù)列，

①求和的通項公式；

②設(shè)是正整數(shù)，若存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，；②6

【解析】

(1)根據(jù)行列式的代數(shù)余子式可得,再根據(jù)等差中項可證;

(2)①設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)和通項公式,解方程組即可得到所求通項;

②由等差數(shù)列的中項性質(zhì)和分類討論,即可得到最小值.

證明:因為,

所以,,

因為,所以,即,

所以數(shù)列是等差數(shù)列.

①由(1)知數(shù)列是等差數(shù)列,設(shè)公差為(),設(shè)等比數(shù)列 的公比為,

因為成等比數(shù)列，成等差數(shù)列,

所以且,

所以,且,

結(jié)合化簡可得且,

解得,

所以,,

故,.

②因為成等差數(shù)列,

所以,即,

由于,且均為正整數(shù),

所以,,所以,

可得,即,

當(dāng)時,,,所以不等式不成立,

當(dāng)或時,成立,

當(dāng)時,,即時,則有,

所以的最小值為6,當(dāng)且僅當(dāng)且或時, 取得最小值6.