【題目】已知橢圓的左.右焦點分別為,為坐標原點.
(1)若斜率為的直線交橢圓于點,若線段的中點為,直線的斜率為,求的值;
(2)已知點是橢圓上異于橢圓頂點的一點,延長直線,分別與橢圓交于點,設直線的斜率為,直線的斜率為,求證:為定值.
【答案】(1);(2)詳見解析.
【解析】
(1)設出A,B點坐標,代入橢圓方程作差并整理,則可求出的值.
(2)設(),,先計算有一條直線斜率不存在對應的斜率之積的值,再討論一般情況,求出B,D坐標,化簡斜率得出結(jié)論.
(1)設,將,作差可得
,,,
所以;
(2)設(),,
當直線的斜率不存在時,設,則,
直線的方程為代入,可得
∴,,則,
∴直線的斜率為,直線的斜率為,
∴,當直線的斜率不存在時,同理可得.
當直線,的斜率存在時,,
設直線的方程為,則由消去可得:
,
又,則,代入上述方程可得
,
∴,
∴,則
∴,設直線的方程為,
同理可得
∴直線的斜率為,
∵直線的斜率為,
∴
所以直線與的斜率之積為定值,即.
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【題目】已知函數(shù),,其中且,.
(1)若函數(shù)f(x)與g(x)有相同的極值點(極值點是指函數(shù)取極值時對應的自變量的值),求k的值;
(2)當m>0,k = 0時,求證:函數(shù)有兩個不同的零點;
(3)若,記函數(shù),若,使,求k的取值范圍.
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【題目】函數(shù),.
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)設,,為曲線上兩點,且,設直線斜率為,,證明:
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(kx+)ex﹣2x,若f(x)<0的解集中有且只有一個正整數(shù),則實數(shù)k的取值范圍為 ( 。
A. [ ,)B. (,]
C. [)D. [)
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【題目】出租車幾何學是由十九世紀的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)立的.在出租車幾何學中,點還是形如的有序?qū)崝?shù)對,直線還是滿足的所有組成的圖形,角度大小的定義也和原來一樣.直角坐標系內(nèi)任意兩點,,定義它們之間的一種“距離”:;到兩點P.Q“距離”相等的點的軌跡稱為線段PQ的“垂直平分線”.已知點、、,請解決以下問題:
(1)求線段上一點到原點的“距離”;
(2)寫出線段AB的“垂直平分線”的軌跡方程,并作出大致圖像;
(3)定義:若三角形三邊的“垂直平分線”交于一點,則該點稱為三角形的“外心”.試判斷 的“外心”是否存在,如果存在,求出“外心”;如果不存在,說明理由.
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【題目】已知數(shù)列和滿足:,且成等比數(shù)列,成等差數(shù)列.
(1)行列式,且,求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)在(1)的條件下,若不是常數(shù)列,是等比數(shù)列,
①求和的通項公式;
②設是正整數(shù),若存在正整數(shù),使得成等差數(shù)列,求的最小值.
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【題目】設的傾斜角為繞其上一點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到直線在軸上的截距為繞沿逆時針方向再旋轉(zhuǎn)角得到直線,則的方程為___________.
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【題目】在萬眾創(chuàng)新的大經(jīng)濟背景下,某成都青年面包店推出一款新面包,每個面包的成本價為元,售價為元,該款面包當天只出一爐(一爐至少個,至多個),當天如果沒有售完,剩余的面包以每個元的價格處理掉,為了確定這一爐面包的個數(shù),該店記錄了這款新面包最近天的日需求量(單位:個),整理得下表:
日需求量 | |||||
頻數(shù) |
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知,頻數(shù)與日需求量(單位:個)線性相關(guān),求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)以天記錄的各日需求量的頻率代替各日需求量的概率,若該店這款新面包出爐的個數(shù)為,記當日這款新面包獲得的總利潤為(單位:元).求的分布列及其數(shù)學期望.
相關(guān)公式:,
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