Question

【題目】已知拋物線過點，過點作直線與拋物線交于不同兩點、，過作軸的垂線分別與直線、交于點、，其中為坐標(biāo)原點.

（1）求拋物線的方程；

（2）寫出拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（3）求證：為線段的中點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為；（3）證明見解析.

【解析】

（1）將點的坐標(biāo)代入拋物線的方程，求出的值，可求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果可寫出拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（3）設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，并列出韋達定理，求出點、的坐標(biāo)，然后結(jié)合韋達定理證明出點、的縱坐標(biāo)之和為點縱坐標(biāo)的兩倍，即可證明出點為線段的中點.

（1）將點的坐標(biāo)代入拋物線的方程得，解得，

因此，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由（1）知，拋物線的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為；

（3）設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，

將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去得，

由韋達定理得，.

直線的方程為，聯(lián)立，得點，

直線的方程為，聯(lián)立，得點，

點的坐標(biāo)為，

，則，

因此，為線段的中點.