【題目】已知是拋物線的焦點,是拋物線上一點過三點的圓的圓心為,點到拋物線的準線的距離為.

1)求拋物線的方程;

2)若點的橫坐標為4,過的直線與拋物線有兩個不同的交點,直線與圓交于點,且點的橫坐標大于4,求當取得最小值時直線的方程.

【答案】1;(2.

【解析】

1)由拋物線方程知,知圓心Q在線段OF的中垂線上,點Q 準線的距離為,則可求出的值,進而求得拋物線C的標準方程;

2)由題意設出直線方程,分別在拋物線和圓Q中求出弦長,將表示成關于k的函數(shù),且由點E的橫坐標大于4可得出k的取值范圍,利用導函數(shù)分析函數(shù)上的單調(diào)性,求出其取得最小值時k的值,進而求出直線l的方程.

解:(1)由題意可知,

三點的圓的圓心應在線段OF的中垂線上,

又因為點Q到準線的距離為,

解得,

故所求拋物線的方程為:;

2的直線與拋物線有兩個不同的交點

直線l的斜率存在,設l為:

,

,

由韋達定理得

故焦點弦

過點,及點,

可求得圓Q的方程為

,

, ,

的橫坐標大于4

,解得

,得

單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,

即當時,取得最小值,

故所求直線l的方程為:.

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