Question

【題目】如圖，四棱錐中，平面平面，若，四邊形是平行四邊形，且.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若點(diǎn)在線段上，且平面，，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）推導(dǎo)出BC⊥CE,從而EC⊥平面ABCD,進(jìn)而EC⊥BD，再由BD⊥AE，得BD⊥平面

AEC,從而BD⊥AC,進(jìn)而四邊形ABCD是菱形，由此能證明AB=AD.

（Ⅱ）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為G,推導(dǎo)出EC// FG,取BC的中點(diǎn)為O,連結(jié)OD,則OD⊥BC,以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)O且與CE平行的直線為x軸，以BC為y軸，OD為z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.

（Ⅰ）證明：，即，

因?yàn)槠矫?/span>平面，

所以平面，

所以，

因?yàn)?/span>，

所以平面，

所以，

因?yàn)樗倪呅?/span>是平行四邊形，

所以四邊形是菱形，

故；

解法一：（Ⅱ）設(shè)與的交點(diǎn)為，

因?yàn)?/span>平面，

平面平面于，

所以，

因?yàn)?/span>是中點(diǎn)，

所以是的中點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，

取的中點(diǎn)為，連接，

則，

因?yàn)槠矫?/span>平面，

所以面，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)且與平行的直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則，，，，，，，

設(shè)平面的法向量，

則，取，

同理可得平面的法向量，

設(shè)平面與平面的夾角為，

因?yàn)?/span>，

所以二面角的余弦值為.

解法二：（Ⅱ）設(shè)與的交點(diǎn)為，

因?yàn)?/span>平面，平面平面于，

所以，

因?yàn)?/span>是中點(diǎn)，

所以是的中點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，，

所以平面，

所以，

取中點(diǎn)，連接、，

因?yàn)?/span>，

所以，

故平面，

所以，即是二面角的平面角，

不妨設(shè)，

因?yàn)?/span>，，

在中，，

所以，所以二面角的余弦值為.