【題目】已知.

1)當(dāng)時,求的極值;

2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

3)若2個不同零點,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】1)最大值,最小值;(2)見解析;(3

【解析】

1)求出導(dǎo)函數(shù),求出的解,列表確定在正負(fù),從而確定的單調(diào)性,得極值;

2)根據(jù)導(dǎo)函數(shù),對分類討論:,時,求出解,再由解的大小分類討論得單調(diào)區(qū)間;

3)根據(jù)(2)所得單調(diào)性,結(jié)合零點存在定理可得結(jié)論.

,

1)當(dāng)時,,令1

0

1

+

0

-

0

+

極大值

極小值

2,

①當(dāng)時,因為,所以,

得:,令得:

所以,所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減

②當(dāng)時,令得,

時,解時,,時,

所以,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增

時,R上恒成立,所以上單調(diào)遞增

時,時,

,時,

所以,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增

綜上所述,

當(dāng)時,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減

當(dāng)時,,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增

當(dāng)時,上單調(diào)遞增

當(dāng)時,,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增

3

當(dāng)時,,只有一個零點;

當(dāng)時,由(2)可知

,為減函數(shù),,為增函數(shù)

所以,

所以,當(dāng)時,,使,

當(dāng)時,,所以

所以

,則,

所以,所以函數(shù)有2個零點.

當(dāng)時,,令,

,即時,由(2)可得:,

∴函數(shù)至多有一個零點,不符合題意;

時,單調(diào)遞增,

所以至多有一個零點,不合題意

③當(dāng)時,即時,,時,,.

所以,函數(shù)至多有1個零點

綜上:a的取值范圍是

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