【題目】在三棱錐中, 和是邊長(zhǎng)為的等邊三角形, , 是中點(diǎn), 是中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值的大小;
(Ⅲ)在棱上是否存在一點(diǎn),使得的余弦值為?若存在,指出點(diǎn)在上的位置;若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ);(Ⅲ)在棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處.
【解析】試題分析:(Ⅰ)連接, , 中, 為中點(diǎn),易得,同理可得: ,進(jìn)而利用面面垂直的判定定理,即可證明平面平面;
(Ⅱ)以為原點(diǎn),以方向分別為, , 軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,求得平面的一個(gè)法向量為,利用向量的夾角公式,即可求解線面角的正弦值;
(Ⅲ)設(shè)得再求得平面的一個(gè)法向量為和面的一個(gè)法向量為,利用向量的夾角公式,求解的值,從而確定點(diǎn)的位置.
試題解析:(Ⅰ)證明:連接, , 中, 為中點(diǎn),易得且.
同理可得: , ,又∵,∴,
∴,又∵,∴平面,又∵平面,
∴平面平面.
(Ⅱ)以為原點(diǎn),以方向分別為, , 軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,
得, , , , ,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則有, ,
,設(shè)直線與面所成的角為,
則.
(Ⅲ)設(shè)在棱上存在點(diǎn),設(shè)
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
則有,且,取, , ,
∴,
∵平面,
∴設(shè)面的一個(gè)法向量為.
設(shè)面與面所成二面角為,
,
解得: 或(舍),∴.
所以存在點(diǎn)且當(dāng)在棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處,滿足題意.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: ()的兩個(gè)焦點(diǎn)為, ,離心率為,點(diǎn), 在橢圓上, 在線段上,且的周長(zhǎng)等于.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過(guò)圓: 上任意一點(diǎn)作橢圓的兩條切線和與圓交于點(diǎn), ,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】A在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為,( 為參數(shù)),直線的方程為以為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線和直線的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線交于兩點(diǎn),求
已知不等式的解集為.
(1)求的值;
(2)若,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市2010年至2016年新開(kāi)樓盤(pán)的平均銷(xiāo)售價(jià)格(單位:千元/平米)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
年份代號(hào)x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
銷(xiāo)售價(jià)格y | 3 | 3.4 | 3.7 | 4.5 | 4.9 | 5.3 | 6 |
(1)求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,分析2010年至2016年該市新開(kāi)樓盤(pán)平均銷(xiāo)售價(jià)格的變化情況,并預(yù)測(cè)該市2018年新開(kāi)樓盤(pán)的平均銷(xiāo)售價(jià)格.
附:參考數(shù)據(jù)及公式: , , .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中,若是的三條邊長(zhǎng),則下列結(jié)論中正確的是( )
①存在,使、、不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊
②對(duì)一切,都有
③若為鈍角三角形,則存在,使
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)的圖象與直線交于兩點(diǎn),線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,證明: 為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,圓的極坐標(biāo)方程為,若以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系
(1)求圓的參數(shù)方程;
(2)在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn),試求的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo);
(3)已知為參數(shù)),曲線為參數(shù)),若版曲線上各點(diǎn)恒坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍,得到曲線,設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,橢圓和拋物線交于兩點(diǎn),且直線恰好通過(guò)橢圓的右焦點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線和橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且,
其中為坐標(biāo)原點(diǎn),求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面給出了四個(gè)類(lèi)比推理:
(1)由“若則”類(lèi)比推出“若為三個(gè)向量則”;
(2)“a,b為實(shí)數(shù),則a=b=0”類(lèi)比推出“為復(fù)數(shù),若”
(3)“在平面內(nèi),三角形的兩邊之和大于第三邊”類(lèi)比推出“在空間中,四面體的任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積”
(4)“在平面內(nèi),過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓”類(lèi)比推出“在空間中,過(guò)不在同一個(gè)平面上的四個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)球”.
上述四個(gè)推理中,結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
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