已知向量
m
=（sinx，-1），
n
=（
3
cosx，-
1
2
），函數(shù)f（x）=
m
2+
m
•
n
-2．
（1）求f（x）的最大值，并求取最大值時x的取值集合；
（2）已知a、b、c分別為△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊，且b2=ac，B為銳角，且f（B）=1，求
1
tanA
+
1
tanC
的值．
考點：平面向量數(shù)量積的運算,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用,正弦定理
專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形,平面向量及應用
分析：（1）根據(jù)向量的數(shù)量積運算，先化簡f（x）=sin（2x-
π
6
），再根據(jù)三角形函數(shù)的圖象和性質(zhì)，問題得以解決；
（2）先求出B的大小，再根據(jù)正弦定理或余弦定理，即可求出
1
tanA
+
1
tanC
的值．
解答： 解：（1）f(x)=(
m
+
n
)•
m
-2
=sin2x+1+
3
sinxcosx+
1
2
-2
=
1-cos2x
2
+
3
2
sin2x-
1
2
=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x=sin(2x-
π
6
)．
故f（x）max=1，
此時2x-
π
6
=2kπ+
π
2
，k∈Z，得x=kπ+
π
3
，k∈Z，
∴取最大值時x的取值集合為{x|x=kπ+
π
3
，k∈Z}．   
（2）f(B)=sin(2B-
π
6
)=1，
∵0＜B＜
π
2
，
∴-
π
6
＜2B-
π
6
＜
5π
6
，
∴2B-
π
6
=
π
2
，B=
π
3
，
（法一）由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC得：
1
tanA
+
1
tanC
=
cosA
sinA
+
cosC
sinC
=
sinCcosA+cosCsinA
sinAsinC
=
sin(A+C)
sin2B
=
1
sinB
=
2
3
3
．           
（法二）由b2=ac及余弦定理得：ac=a2+c2-ac即a=c，
∴△ABC為正三角形，
∴
1
tanA
+
1
tanC
=
1
3
+
1
3
=
2
3
3
．
點評：本題考查向量的數(shù)量積的運算以及三角函數(shù)的化簡和求值，正弦定理和余弦定理，屬于中檔題
練習冊系列答案
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已知復數(shù)z滿足（1-i）z=1+i，則z的模為
 
．

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若
a
=（2x，1，3），
b
=（1，3，9），如果
a
與
b
為共線向量，則（　�。�
A、x=1
B、x=
1
2
C、x=
1
6
D、x=-
1
6

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，并且它的準線過等軸雙曲線的一個焦點，已知拋物線過點(
3
2
，
6
)，求拋物線和雙曲線的標準方程．

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如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是（　�。�
A、
1
2
+
2
2
B、1+
2
2
C、1+
2
D、2+
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于數(shù)列{an}，有a0=1，ai∈[0，
π
2
]，tanan=
1+tan2an-1
-1
tanan-1
，求a100．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=
-2x+a
2x+1
是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）用定義證明f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）已知不等式f（logm
3
4
）+f（-1）＞0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=3x2-3x-2的遞增區(qū)間為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)直線
2
ax+by=1（其中a，b為實數(shù)）與圓x2+y2=1相交于A，B兩點，△AOB是直角三角形（O為坐標原點），則點P（a，b）到點M（0，1）的距離的最大值為$（　�。�
A、
2
+1
B、2
C、2
2
+3
D、
2
-1

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