Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=

-2x+a

2x+1

是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）用定義證明f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）已知不等式f（log_m

3

4

）+f（-1）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)得f（-x）+f（x）=0恒成立，代入解析式利用指數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出a的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明，即取值-作差-變形-判斷符號(hào)-下結(jié)論；
（3）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為：f（log_m

3

4

）＞f（1），再由函數(shù)的單調(diào)性得log_m

3

4

＜1，利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性對(duì)m進(jìn)行分類(lèi)討論，再求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）由于f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）+f（x）=0對(duì)于任意的x∈R都成立，
即

-2-x+a

2-x+1

+

-2x+a

2x+1

=0，則

-1+a•2x

2x+1

+

-2x+a

2x+1

=0…（2分）
可得-1+a•2^x-2^x+a=0，即（a-1）（2^x+1）=0…（3分）
因?yàn)?^x＞0，則a-1=0，解得a=1…（4分）
（2）設(shè)x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=

-2x2+1

2x2+1

-

-2x1+1

2x1+1

=

(-2x2+1)(2x1+1)-(-2x1+1)(2x2+1)

(2x2+1)(2x1+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x2+1)(2x1+1)

…（6分），
因?yàn)閤₁＜x₂，所以0＜2x1＜2x2，
所以2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
從而f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）…（7分）
所以f（x）在R上是減函數(shù)…（8分）
（3）由f（log_m

3

4

）+f（-1）＞0可得：f（log_m

3

4

）＞-f（-1）…（9分）
因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（log_m

3

4

）＞f（1），
又因?yàn)閒（x）在R上是減函數(shù)，所以log_m

3

4

＜1…（10分）
①當(dāng)m＞1時(shí)，不等式成立；
②當(dāng)0＜m＜1時(shí)，解得0＜m＜

3

4

；
綜上可得，0＜m＜

3

4

，或m＞1…（11分）
故m的取值范圍是（0，

3

4

）∪（1，+∞）…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性定義的證明步驟：取值-作差-變形-判斷符號(hào)-下結(jié)論，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性求解不等式問(wèn)題，屬于中檔題．