已知函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)在區(qū)間[0,
π
3
]
上單調(diào)遞增,在區(qū)間[
π
3
3
]
上單調(diào)遞減;如圖,四邊形OACB中,a,b,c為△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊,且滿足
sinB+sinC
sinA
=
3
-cosB-cosC
cosA

(Ⅰ)證明:b+c=2a;
(Ⅱ)若b=c,設(shè)∠AOB=θ,(0<θ<π),OA=2OB=2,求四邊形OACB面積的最大值.
(Ⅰ)由題意知:
ω
=
3
,解得ω=
3
2
…(2分)
sinB+sinC
sinA
=
2-cosB-cosC
cosA

∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA,
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA,
∴sin(A+B)+sin(A+C)=2sinA…(4分)
∴sinC+sinB=2sinA,
∴b+c=2a…(6分)
(Ⅱ)因為b+c=2a,b=c,所以a=b=c,所以△ABC為等邊三角形,
SOACB=S△OAB+S△ABC=
1
2
OA•OBsinθ+
3
4
AB2
…(8分)
=sinθ+
3
4
(OA2+OB2-2OA•OBcosθ)
…(9分)
=sinθ-
3
cosθ+
5
3
4
=2sin(θ-
π
3
)+
5
3
4
,…(10分)
∵θ∈(0,π),∴θ-
π
3
∈(-
π
3
,
3
)
,
當(dāng)且僅當(dāng)θ-
π
3
=
π
2
,即θ=
6
時取最大值,SOACB的最大值為2+
5
3
4
…(12分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在銳角△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,且acosC,bcosB,ccosA成等差數(shù)列
(Ⅰ)求角B的大;
(Ⅱ)求2sin2A+cos(A-C)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知向量
a
=(cos2x,2sinx),
b
=(1,cosx),函數(shù)f(x)=
a
b

(I)求函數(shù)f(x)的解析式;
(II)求f(x)的最小正周期及f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

若點G為△ABC的重心(三角形三邊上中線的交點)且AG⊥BG,則cos(A+B)的最大值為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

化簡得cos200cos(-700)+sin2000sin1100+
1+tan150
1+tan1650
的值為(  )
A.-
3
B.0C.
3
D.
3
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

若α、β均為銳角,且2sinα=sin(α+β),則α與β的大小關(guān)系為(  )
A.α<βB.α>βC.α≤βD.不確定

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知tanα、tanβ是方程x2+6x+7=0的兩根,則tan(α+β)=______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

中,若,則邊           .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知,并且,求的值.

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