Question

設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.4]=1，[-1.1]=-2，若函數(shù)f（x）=

1-ex

1+ex

，則函數(shù)g（x）=[f（x）]+[f（-x）]的值域為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分別求出函數(shù)f（x）和f（-x）的值域，利用[x]的定義，求[f（x）]，[f（-x）]的值域，再相加．

解答： 解：∵f（x）=

1-ex

1+ex

=

2

1+ex

-1，
∴當(dāng)x＞0時，1+e^x＞2，-1＜f（x）＜0，∴[f（x）]=-1；
當(dāng)x＜0時，1＜1+e^x＜2，0＜f（x）＜1，∴[f（x）]=0；
當(dāng)x=0時，f（x）=0，[f（x）]=0；
∵f（-x）=

1-e-x

1+e-x

=

ex-1

ex+1

=1-

2

1+ex

，
∴當(dāng)x＞0時，1+e^x＞2，0＜f（-x）＜1，∴[f（x）]=0；
當(dāng)x＜0時，1＜1+e^x＜2，-1＜f（-x）＜0，∴[f（x）]=-1；
當(dāng)x=0時，f（-x）=0，[f（x）]=0；
綜上，當(dāng)x=0時，g（x）=[f（x）]+[f（-x）]=0，
當(dāng)x＞0時，g（x）=[f（x）]+[f（-x）]=-1+0=-1，
當(dāng)x＜0時，g（x）=[f（x）]+[f（-x）]=0-1=-1；
∴g（x）的值域是{0，-1}．
故答案為：{0，-1}．

點評：本題考查函數(shù)的新定義應(yīng)用問題，解題時應(yīng)深刻理解函數(shù)的新定義，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，是解答問題的關(guān)鍵，是中檔題．