已知函數(shù)f(x)=x2+
3
2
x-6.
(1)求函數(shù)g(x)=xf(x)的極大值;
(2)求過點(diǎn)A(2,-24)且與曲線y=x[f(x)-
3
2
x-6]相切的切線方程.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題:綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用
分析:(1)求導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,可求函數(shù)g(x)=xf(x)的極大值;
(2)設(shè)出曲線過點(diǎn)A切線方程的切點(diǎn)坐標(biāo),把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入,可得切線的斜率,根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和表示出的斜率,即可求出切線的方程.
解答: 解:(1)g′(x)=[xf(x)]′=3(x-1)(x+2),
由g′(x)>0可得x<-2或x>1;由g′(x)<0可得-2<x<1,
∴x=-2時,函數(shù)取得極大值10;
(2)設(shè)切點(diǎn)為(a,b),則
∵y=x[f(x)-
3
2
x-6]=x3-12x,
∴y′=3x2-12,
∴過點(diǎn)A(2,-24)的切線方程為y+24=(x-2)(3a2-12)
將(a,b)代入,化簡可得2a3-6a2=0,
∴a=0或a=3,
∴切線方程為y=-12或y=15x-54.
點(diǎn)評:此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程,是一道綜合題.學(xué)生在解決此類問題一定要分清“在某點(diǎn)處的切線”,還是“過某點(diǎn)的切線”;同時解決“過某點(diǎn)的切線”問題,一般是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)解決.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

雙曲線的一個頂點(diǎn)為(2,0),一條漸近線方程為y=
2
x,則該雙曲線的方程是(  )
A、
x2
4
-
y2
2
=1
B、
x2
2
-
y2
4
=1
C、
y2
8
-
x2
4
=1
D、
x2
4
-
y2
8
=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知x=1是函數(shù)f(x)=(ax-2)ex(a∈R)的一個極值點(diǎn),
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若x∈[0,2],有t-e≤f(x)恒成立,求t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=ax3+bx2+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1),且在x=1處的切線方程是y=-2x+1
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)求y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C的圓心C與點(diǎn)A(2,1)關(guān)于直線4x+2y-5=0對稱,圓C與直線x+y+2=0相切.
(Ⅰ)設(shè)Q為圓C上的一個動點(diǎn),若點(diǎn)P(1,1),M(-2,-2),求
PQ
MQ
的最小值;
(Ⅱ)過點(diǎn)P(1,1)作兩條相異直線分別與圓C相交于A,B,且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ),O為坐標(biāo)原點(diǎn),試判斷直線OP和AB是否平行?請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}滿足
an+1
an
=q,且q≠0,數(shù)列{bn}滿足bn=na1+(n-1)a2+(n-2)a3+…+2an-1+an(n∈N*),已知b1=m,b2=
3m
2
,其中m≠0:
(Ⅰ)當(dāng)m=1時,求bn;
(Ⅱ)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若對于任意的正整數(shù)n,都有Sn2-4sn+3≤0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

為了解某校高三學(xué)生的視力情況,隨機(jī)抽查了該校50名高三學(xué)生,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求圖中x的值;
(Ⅱ)若從視力在[0.2,0.6)的學(xué)生中隨機(jī)選取2人,求這2人視力均在[0.2,0.4)的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于以下結(jié)論:
①若y=f(x)是奇函數(shù),則f(0)=0;
②已知p:事件A、B是對立事件,q:事件A、B是互斥事件,則p是q的必要但不充分條件;
ln5
5
ln3
3
1
e
(e為自然對數(shù)的底數(shù));
④若
a
=(1,2),
b
=(0,-1),則
b
a
上的投影為
2
5
5

⑤若隨機(jī)變量ξ~N(1,4),則P(ξ≤1)=
1
2

其中,正確結(jié)論的序號為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[1.4]=1,[-1.1]=-2,若函數(shù)f(x)=
1-ex
1+ex
,則函數(shù)g(x)=[f(x)]+[f(-x)]的值域?yàn)?div id="eo0wg28" class='quizPutTag' contenteditable='true'> 

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