【題目】定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x),對(duì)于任意的m,n∈(0,+∞),都有f(mn)=f(m)+f(n)成立,當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0.
(1)求證:1是函數(shù)f(x)的零點(diǎn);
(2)求證:f(x)是(0,+∞)上的減函數(shù);
(3)當(dāng)f(2)=時(shí),解不等式f(ax+4)>1.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)時(shí)解集為,時(shí),解集為,時(shí)解集為.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)令m=n=1,則f(1)=2f(1),∴f(1)=0,即可得1是函數(shù) f (x)的零點(diǎn);(2)設(shè).
即因,則.而當(dāng)x>1時(shí),,從而.所以f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)(3)因?yàn)?/span>,所以不等式轉(zhuǎn)化為f(ax+4)>f(4),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,可得,然后分三種情況討論,解得不等式
試題解析:(1)對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)m,n都有f(mn)=f(m)+f(n)成立,所以令m=n=1,則f(1)=2f(1).
∴f(1)=0,即1是函數(shù)f(x)的零點(diǎn).
(2)設(shè).
即因,則.而當(dāng)x>1時(shí),,從而.所以f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).
(3)因?yàn)?/span>,所以不等式f(ax+4)>1可以轉(zhuǎn)化為
因?yàn)?/span>f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),所以.
當(dāng)a=0時(shí),解集為;
當(dāng)a>0時(shí),-4<ax<0,即-<x<0,解集為;
當(dāng)a<0時(shí),-4<ax<0,即0<x<-,解集為}.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有一種候鳥每年都按一定的路線遷徙,飛往繁殖地產(chǎn)卵,科學(xué)家經(jīng)過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù),單位是,其中表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù),為表示測(cè)量過(guò)程中候鳥每分鐘的耗氧偏差.(參考數(shù)據(jù):,,)
(1)若,候鳥停下休息時(shí),它每分鐘的耗氧量為多少個(gè)單位?
(2)若雄鳥的飛行速度為,雌鳥的飛行速度為,那么此時(shí)雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的多少倍?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,短軸長(zhǎng)和焦距都等于2,是橢圓上的一點(diǎn),且在第一象限內(nèi),過(guò)且斜率等于的直線與橢圓交于另一點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)證明:直線的斜率為定值;
(3)求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】命題:指數(shù)函數(shù)是減函數(shù);命題:,使關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解,其中.
(1)當(dāng)時(shí),若為真命題,求的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),若且為假命題,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且時(shí),總有成立.
求a的值;
判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性;
求在上的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(,且為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明;
(2)判斷函數(shù)的奇偶性并證明;
(3)是否存在實(shí)數(shù),使不等式對(duì)一切都成立?若存在,求出的范圍,若不存在說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[2018·江西聯(lián)考]交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購(gòu)買的險(xiǎn)種,若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為元,在下一年續(xù)保時(shí),實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制,保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系,發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費(fèi)率也就越高,具體浮動(dòng)情況如表:
交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表 | ||
浮動(dòng)因素 | 浮動(dòng)比率 | |
上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮10% | |
上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮20% | |
上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮30% | |
上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% | |
上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故 | 上浮10% | |
上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故 | 上浮30% |
某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機(jī)抽取了80輛車齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況,統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格:
類型 | ||||||
數(shù)量 | 20 | 10 | 10 | 20 | 15 | 5 |
以這80輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率,完成下列問(wèn)題:
(1)按照我國(guó)《機(jī)動(dòng)車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)條例》汽車交強(qiáng)險(xiǎn)價(jià)格的規(guī)定,.某同學(xué)家里有一輛該品牌車且車齡剛滿三年,記X為該品牌車在第四年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望值;(數(shù)學(xué)期望值保留到個(gè)位數(shù)字)
(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車.假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車虧損4000元,一輛非事故車盈利8000元:
①若該銷售商購(gòu)進(jìn)三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求這三輛車中至多有一輛事故車的概率;
②若該銷售商一次購(gòu)進(jìn)100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求他獲得利潤(rùn)的期望值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,,分別是棱,的中點(diǎn),為棱上一點(diǎn),且平面.
(1)證明:為中點(diǎn);
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解學(xué)生的課外閱讀時(shí)間情況,某學(xué)校隨機(jī)抽取了 50人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,把這50人每天閱讀的時(shí)間(單位:分鐘)繪制成頻數(shù)分布表,如下表所示:
若把每天閱讀時(shí)間在60分鐘以上(含60分鐘)的同學(xué)稱為“閱讀達(dá)人”,根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果中男女生閱讀達(dá)人的數(shù)據(jù),制作出如圖所示的等高條形圖.
(1)根據(jù)抽樣結(jié)果估計(jì)該校學(xué)生的每天平均閱讀時(shí)間(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表);
(2)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為“閱讀達(dá)人”跟性別有關(guān)?
附:參考公式
,其中.
臨界值表:
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