Question

如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD丄CD，AB∥CD，AB=AD=

1

2

CD=2，點M在線段EC上．
（Ⅰ）當點M為EC中點時，求證：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求證：平面BDE丄平面BEC；
（Ⅲ）若平面BDM與平面ABF所成二面角為銳角，且該二面角的余弦值為

6

6

時，求三棱錐M-BDE的體積．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（I）取DE中點N，連接MN，AN，由三角形中位線定理，結合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，再由線面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）證明ED⊥BC，BC⊥BD，可得BC⊥平面BDE，從而平面BDE丄平面BEC；
（Ⅲ）建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，利用二面角的余弦值為

6

6

，求出M的坐標，即可求三棱錐M-BDE的體積．

解答： （Ⅰ）證明：取DE中點N，連接MN，AN
在△EDC中，M、N分別為EC，ED的中點，
所以MN∥CD，且MN=

1

2

CD．
由已知AB∥CD，AB=

1

2

CD，
所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN
又因為AN?平面ADEF，且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）證明：在正方形ADEF中，ED⊥AD．
又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，知ED⊥平面ABCD．所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，所以BC=2

2

．
在△BCD中，BD=BC=2

2

，CD=4，可得BC⊥BD．
故BC⊥平面BDE．
又因為BC?平面BCE，所以，平面BDE丄平面BEC．
（Ⅲ）解：以直線DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2）．
設M（x，y，z），則

EM

=（x，y，z-2），
又

EC

=（0，4，-2），設

EM

=λ

EC

（0＜λ＜1），則X=0，Y=4λ，Z=2-2λ，即m（0，4λ，2-2λ）．
設

n

=（x，y，z）是平面BDM的法向量，則

2x+2y=0 4λy+(2-2λ)z=0

取x=1得平面BDM的一個法向量為

n

=（1，-1，

2λ

1-λ

）．
由題可知，

OA

=（2，0，0）是平面ABF的一個法向量．
因此，cos＜

OA

，

n

＞=

2

2 2+ 4λ2 (1-λ)2

=

6

6

，
所以λ=

1

2

，
即點M為EC中點．此時，S_△DEM=2，AD三棱錐B-DEM的高，
所以，V_M-BDE=V_B-DEM=

1

3

•2•2=

4

3

．

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，熟練掌握利用向量知識解決立體幾何問題是解答本題的關鍵．