【題目】定義:若函數(shù)對(duì)任意的,都有成立,則稱為上的“淡泊”函數(shù).
(1)判斷是否為上的“淡泊”函數(shù),說(shuō)明理由;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使為上的“淡泊”函數(shù),若存在,求出的取值范圍;不存在,說(shuō)明理由;
(3)設(shè)是上的“淡泊”函數(shù)(其中不是常值函數(shù)),且,若對(duì)任意的,都有成立,求的最小值.
【答案】(1)是,理由詳見(jiàn)解析;(2)存在,;(3)最小值為.
【解析】
(1)任取x1,x2∈[﹣1,1],可得|f(x1)﹣f(x2)|的不等式,結(jié)合題意可判函數(shù)為“淡泊”函數(shù);
(2)假設(shè)存在k∈R,使得在[﹣1,+∞)上為“淡泊”函數(shù),則滿足對(duì)任意x1,x2∈[﹣1,+∞),都有|f(x1)﹣f(x2)|≤|x1﹣x2|成立,代入已知可得k的不等式,解不等式可得;
(3)不妨令0<x1≤x2<1,運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)以及新定義,即可得到結(jié)論.
(1)任取x1,x2∈[﹣1,1],可得|f(x1)﹣f(x2)|
=|()﹣()|
=|(x1+x2)(x1﹣x2)(x1﹣x2)|
=|x1﹣x2||(x1+x2)|
∵x1,x2∈[﹣1,1],∴(x1+x2)∈[,],
∴(x1+x2)|∈[0,1],即|(x1+x2)|≤1,
∴|x1﹣x2||(x1+x2)|≤|x1﹣x2|
∴|f(x1)﹣f(x2)|≤|x1﹣x2|
∴函數(shù)在[﹣1,1]上是“淡泊”函數(shù);
(2)假設(shè)存在k∈R,使得在[﹣1,+∞)上為“淡泊”函數(shù),
則滿足對(duì)任意x1,x2∈[﹣1,+∞),都有|f(x1)﹣f(x2)|≤|x1﹣x2|成立,
故||=|k|||≤|x1﹣x2|,
∴|k|≤|(x1+2)(x2+2)|,
∵x1,x2∈[﹣1,+∞),∴(x1+2)(x2+2)>1,
∴|k|≤1,解得﹣1≤k≤1;
(3)不妨令0<x1≤x2<1,由“淡泊”函數(shù)性質(zhì),有|f(x1)﹣f(x2)|≤|x1﹣x2|成立,
若x2﹣x1,則|f(x1)﹣f(x2)|≤|x1﹣x2|;
若x2﹣x1,|f(x1)﹣f(x2)|=|f(x1)﹣f(0)+f(1)﹣f(x2)|
≤|f(x1)﹣f(0)|+|f(1)﹣f(x2)|≤|x1﹣0|+|1﹣x2|=1﹣x2+x1=1﹣(x2﹣x1),
綜上,對(duì)任意0<x1≤x2<1,|f(x1)﹣f(x2)|恒成立,
而對(duì)任意的,都成立,則
∴,即的最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】統(tǒng)計(jì)學(xué)中將個(gè)數(shù)的和記作
(1)設(shè),求;
(2)是否存在互不相等的非負(fù)整數(shù),,使得成立,若存在,請(qǐng)寫出推理的過(guò)程;若不存在請(qǐng)證明;
(3)設(shè)是不同的正實(shí)數(shù),,對(duì)任意的,都有,判斷是否為一個(gè)等比數(shù)列,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于定義在上的函數(shù),如果存在兩條平行直線與,使得對(duì)于任意,都有恒成立,那么稱函數(shù)是帶狀函數(shù),若,之間的最小距離存在,則稱為帶寬.
(1)判斷函數(shù)是不是帶狀函數(shù)?如果是,指出帶寬(不用證明);如果不是,說(shuō)明理由;
(2)求證:函數(shù)()是帶狀函數(shù);
(3)求證:函數(shù)()為帶狀函數(shù)的充要條件是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某社會(huì)機(jī)構(gòu)為了調(diào)查對(duì)手機(jī)游戲的興趣與年齡的關(guān)系,通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查,整理數(shù)據(jù)得如下列聯(lián)表:
(1)根據(jù)列聯(lián)表,能否有的把握認(rèn)為對(duì)手機(jī)游戲的興趣程度與年齡有關(guān)?
(2)若已經(jīng)從40歲以上的被調(diào)查者中用分層抽樣的方式抽取了10名,現(xiàn)從這10名被調(diào)查者中隨機(jī)選取3名,記這3名被選出的被調(diào)查者中對(duì)手機(jī)游戲很有興趣的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:
參考數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線過(guò)點(diǎn),且漸近線方程為,直線與曲線交于點(diǎn)、兩點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程;
(2)若直線過(guò)原點(diǎn),點(diǎn)是曲線上任一點(diǎn),直線,的斜率都存在,記為、,試探究的值是否與點(diǎn)及直線有關(guān),并證明你的結(jié)論;
(3)若直線過(guò)點(diǎn),問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn),使得為常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo)及此常數(shù)的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),為實(shí)數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,函數(shù),,若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)營(yíng)銷人員進(jìn)行某商品M市場(chǎng)營(yíng)銷調(diào)查發(fā)現(xiàn),每回饋消費(fèi)者一定的點(diǎn)數(shù),該商品每天的銷量就會(huì)發(fā)生一定的變化,經(jīng)過(guò)試點(diǎn)統(tǒng)計(jì)得到以下表:
反饋點(diǎn)數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷量(百件)/天 | 0. 5 | 0. 6 | 1 | 1. 4 | 1. 7 |
(1)經(jīng)分析發(fā)現(xiàn),可用線性回歸模型擬合當(dāng)?shù)卦撋唐蜂N量(百件)與返還點(diǎn)數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系. 請(qǐng)用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)若返回6個(gè)點(diǎn)時(shí)該商品每天銷量;
(2)若節(jié)日期間營(yíng)銷部對(duì)商品進(jìn)行新一輪調(diào)整. 已知某地?cái)M購(gòu)買該商品的消費(fèi)群體十分龐大,經(jīng)營(yíng)銷調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)其中的200名消費(fèi)者的返點(diǎn)數(shù)額的心理預(yù)期值進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查,得到如下一份頻數(shù)表:
返還點(diǎn)數(shù)預(yù)期值區(qū)間(百分比) | ||||||
頻數(shù) | 20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
(ⅰ)求這200位擬購(gòu)買該商品的消費(fèi)者對(duì)返點(diǎn)點(diǎn)數(shù)的心理預(yù)期值的樣本平均數(shù)及中位數(shù)的估計(jì)值(同一區(qū)間的預(yù)期值可用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替;估計(jì)值精確到0. 1);
(ⅱ)將對(duì)返點(diǎn)點(diǎn)數(shù)的心理預(yù)期值在和的消費(fèi)者分別定義為“欲望緊縮型”消費(fèi)者和“欲望膨脹型”消費(fèi)者,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從位于這兩個(gè)區(qū)間的30名消費(fèi)者中隨機(jī)抽取6名,再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行跟蹤調(diào)查,設(shè)抽出的2人中,至少有一個(gè)人是“欲望膨脹型”消費(fèi)者的概率是多少?
參考公式及數(shù)據(jù):①,;②.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,對(duì)任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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