【題目】對于定義在上的函數(shù),如果存在兩條平行直線,使得對于任意,都有恒成立,那么稱函數(shù)是帶狀函數(shù),若,之間的最小距離存在,則稱為帶寬.

1)判斷函數(shù)是不是帶狀函數(shù)?如果是,指出帶寬(不用證明);如果不是,說明理由;

2)求證:函數(shù))是帶狀函數(shù);

3)求證:函數(shù))為帶狀函數(shù)的充要條件是.

【答案】1)是,帶寬;(2)證明見解析;(3)證明見解析.

【解析】

1)先理解帶狀函數(shù)的特征,再求函數(shù)的值域即可得解;

2)由函數(shù),()的圖像表示雙曲線 在第一象限的部分,

再結(jié)合雙曲線的漸近線即可找出兩平行直線;

3)由分段函數(shù)的圖像特征,結(jié)合帶狀函數(shù)的定義,分別證明充分性及必要性即可.

解:(1)因為,所以,

取直線 ,則恒成立,

即函數(shù)是帶狀函數(shù),帶寬為;

2)因為,()表示雙曲線 在第一象限的部分,又雙曲線的漸近線方程為,故函數(shù)滿足,則函數(shù)有一個寬帶為的帶狀函數(shù);

3)函數(shù) ,

先證充分性,當(dāng)時,,

不妨設(shè) ,則,即存在直線,,滿足題意,即函數(shù)為帶狀函數(shù),

再證必要性,當(dāng)函數(shù))為帶狀函數(shù),

則存在,又,當(dāng),則直線與兩直線,中至少一條相交,故不滿足,即不滿足題意,即,

故函數(shù))為帶狀函數(shù)的充要條件是.

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1)求的長;

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1

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1)已知正數(shù)項數(shù)列數(shù)列,且前五項分別為、、、,求的值;

2)若為常數(shù),且數(shù)列,求的最小值;

3)對于下列兩種情形,只要選作一種,滿分分別是 分,②分,若選擇了多于一種情形,則按照序號較小的解答記分.

① 證明:數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件為“既是數(shù)列,又是數(shù)列”;

②證明:正數(shù)項數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件為“數(shù)列既是數(shù)列,又是數(shù)列”.

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